Область существования и область значения функции

Определение. Областью существования (или областью определения) функции y = f (x) называется совокупность всех действительных значений аргумента х, для которых функция у определена, то есть существует и выражается действительным числом.

Совокупность всех значений, которые принимает при этом сама функция у, называется областью значений (или областью изменения) этой функции.

Упражнения. Найти область определения функции:

1) у = ;

2) ;

3) у =lg(x − 5 x +6).

 

Четность и нечетность.

Определение. Функция у = f (x) называется четной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство: f (− x) = f (x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 9).

Определение. Функция у = f (x) называется нечетной, если для любых значений х из области определения выполняется равенство: f (− x)=− f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 10).

Если ни одно из вышеуказанных условий не выполняется (т.е f (− x)¹− f (x) и f (− x)¹ f (x)), то функция y = f (x) называется функцией общего вида.

Например, функция у = х ⁶ является четной т.к f (− x)=(− x)⁶= x ⁶= f (x), т.е. выполняется условие четности функции: f (− x)=− f (x).

Функция у = х − нечетная; у = х + х −5 – произвольного вида (показать это самостоятельно).

2.4. Периодичность.

Определение. Функция у = f (x) называется периодической с периодом Т ¹0, если для любых х из области определения справедливо равенство:

f (x + T)= f (x).

Замечание. Если число Т есть период функции у = f (x), заданной на всей числовой прямой, то число nT, где n Î Z, также является периодом функции. В этом случае наименьший положительный период, если он существует, называется основным периодом функции. Говоря о периоде функции, обычно имеют в виду наименьший положительный период.

Например, функция у =sin x имеет период Т =2 π, т.к. " х Î Df sin (x +2π)=sin x.

Монотонность.

Определение. Функция у = f (x) называется возрастающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при х ₁< x ₂ имеет место неравенство: f (x ₁)< f (x ₂), т.е.

(" x , x Î Df) [ x > x f (x )> f (x )]

 

Определение. Функция у = f (x) называется убывающей на некотором интервале, если на этом интервале большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при х < x имеет место неравенство: f (x )> f (x ),т.е.

(" x , x Î Df) [ x > x f (x )< f (x )]

 

 

 

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Функция y = f (x) называется кусочно-монотонной на некотором интервале, если его можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция изменяется монотонно, т.е. функция или возрастает, или убывает.

Примеры:

1) Функция y = kx + b является монотонно возрастающей при k >0 и монотонно убывающей при k< 0.

2) Функция y = a является монотонно возрастающей, когда а >1 и монотонно убывающей, когда а <1.

3) Функция y = x монотонно убывает на промежутке (− ; 0) и монотонно возрастает на промежутке (0; + ).

Ограниченность.

Определение. Функция y = f (x) называется ограниченной на некотором промежутке Х, если существует такое положительное число М >0, что

| f (x)| £ М для любого х Î Х,

Краткая запись: ($ М >0) (" х Î Х) [| f (x)| M ].

Или

($ а, b Î R) (" х Î Х) [ а £ f (x)£ b ]

В противном случае функция называется неограниченной.

Если функция ограничена на некотором промежутке, то график ее в пределах этого интервала расположен в полосе, ограниченной прямыми у = а и у = b (рис. 13).

 

Пример. Функция у = sin x ограничена на всей числовой оси, т.к.

(" х Î R) [|si n x |£1 ].