Краткие теоретические сведения. Момент инерции маятника в данной работе определяется из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела

 

Момент инерции маятника в данной работе определяется из основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела. Динамическими характеристиками вращательного движения тела являются: момент инерции тела относительно оси, момент силы относительно оси, момент импульса тела относительно оси вращения.

 

Момент инерции тела относительно оси

Пусть имеется твердое тело. Выберем некоторую прямую ОО (рис.2.1), которую будем называть осью (прямая ОО может быть и вне тела).

Разобьем тело на элементарные участки (материальные точки) массами m , m ,..., m , находящиеся от оси на расстоянии соответственно r , r ,... r ,.... Моментом инерции материальной точки относительно оси ( OO) называется произведение массы материальной точки на квадрат ее расстояния до этой оси:

D I_i = D m_i r_i². (2.1)

Моментом инерции (МИ) тела относительно оси (ОО) называется сумма произведений масс элементарных участков тела на квадрат их расстояния до оси:

I = . (2.2)

Как видно, момент инерции тела есть величина аддитивная - момент инерции всего тел относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции отдельных его частей относительно той же оси.

В данном случае = . Измеряется момент инерции в кг×м .

Так как

D m _i = r D V _i (2.3)

где r - плотность вещества; D V - объем - i - го участка, то

I =

или, переходя к бесконечно малым элементам,

I = (2.4)

Формулу (2.4) удобно использовать для вычисления МИ однородных тел правильной формы относительно оси симметрии, проходящей через центр масс тела. Например, для МИ цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс и параллельно образующей цилиндра, эта формула дает

,

где m - масса; R - радиус цилиндра.

Большую помощь при вычисления МИ тел относительно некоторых осей оказывает теорема Штейнера: МИ тела I относительно любой оси равен сумме МИ этого тела I_с относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния d между указанными осями:

I = I_с+ m d². (2.5)

 

Момент силы относительно оси

Пусть на тело действует сила . Примем для простоты, что сила лежит в плоскости, перпендикулярной некоторой прямой ОО (рис. 2.2,a), которую назовем осью (например, это ось вращения тела). На рис. 2.2,a, А - точка приложения силы , О¢ - точка пересечения оси с плоскостью, в которой лежит сила; - радиус-вектор, определяющий положение точки А относительно точки О¢; О¢B = b - плечо силы. Плечом силы относительно оси называется расстояние от оси до линии, вдоль которой действует сила; a - угол между векторами и .

Моментом силы относительно оси ОО называется вектор, определяемый равенством

(2.6)

Модуль этого вектора M = F r Sin a = Fb. Иногда поэтому говорят, что момент силы относительно оси - это произведение силы на ее плечо.

Если сила направлена произвольно, то ее можно разложить на две составляющие: и (рис. 2.2,б), т.е., , где - составляющая, направленная параллельно оси ОO, а лежит в плоскости, перпендикулярной оси. В этом случае под моментом силы относительно оси ОО понимают вектор

. (2.7)

В соответствии с выражениями (2.6) и (2.7) вектор направлен вдоль оси (cм. рис.2.2, а).

Момент импульса тела относительно оси вращения

Пусть тело вращается вокруг некоторой оси ОО с угловой скоростью w. Разобьем это тело мысленно на элементарные участки с массами D m₁, D m₂,... D m_i,..., которые находятся от оси соответственно на расстояниях D r_1, D r₂,..., D r₃,..., и вращаются по окружностям, имея линейные скорости v₁, v₂,..., v_i,... Известно, что величина, равная - есть импульс i - го участка. Моментом импульса i - го участка (материальной точки) относительно оси вращения называется вектор (точнее, псевдовектор)

, (2.8)

где - радиус-вектор, определяющий положение i -го участка относительно оси.

Моментом импульса всего тела относительно оси вращения называют вектор:

, (2.9)

модуль которого .

В соответствии с выражениями (2.8) и (2.9) векторы и направлены по оси вращения (рис.2.3). Легко показать, что момент импульса тела относительно оси вращения и момент инерции I этого тела относительно той же оси связаны соотношением

. (2.10)