Теория критических трещин Гриффитса

 

Используя понятие хрупкого разрушения, Гриффитс вывел следующую теорию:

 

 

Пусть у нас есть элемент пласта, на который действует напряжение s:

r

2×1

s

 

В месте скругления действуют локальные напряжения s¢ (s¢¹s).

Существуют определённые геометрические размеры которые провоцируют разрушение пласта, это: s¢>s и s¢>>(много больше) предела прочности.

Локальные s¢ связаны с s следующим соо тно шением:

s¢=2×s×Ö1/r,

где 1 – половина длины трещины; r – радиус скругления трещины.

Как только s¢ превышает предел прочности s_р, s¢ будет преодолевать молекулярные силы сцепления и производить работу, пропорциональную поверхностной плотности энергии.

Преодолевая потенциальную энергию, а именно энергию связи пласта (АS), приходящуюся на единицу поверхности, трещина совершает работу разрушения:

А_S~е_S Þ А_S=4×1×е_S, где е_S – поверхностная плотность энергии (Е).

 

Упругая энергия, которая есть в пласте записывается:

А_Е=p/Е×1²×s²,

где А_Е – энергия, запасённая в породах под действием внешней нагрузки.

dА_Е/d1>dА_S/d1

В критическом состоянии: dА_Е/d₁=dА_s/d1.

Следовательно, исходя из выше записанных выражений, получим формулу для расчёта критического напряжения (разрушения):

s_кр=Ö2×Е×е_S/p×1

Напряжение сжатия больше напряжения растяжения s_сж>s_р.

Для большинства пород:

s_сж/s_р=4×((1+tg²j)^1/2 - tgj),

где tgj - коэффициент внутреннего трения.

tgj=0.8¼2.0 Þ s_сж/s_р=8¼17.

 

Для удобства понимания можно представить разрушение в виде кругов Мора:

t

k_сц j

 

 

s_р s_сж s

 

k_сц – коэффициент сцепления.

Положение огибающей будет характеризовать условие разрушения в случае сложно напряжённого состояния.

 

Огибающую можно представить так: t=k_сц+s×tgj

Это соотношение называется паспортом прочности. Физический смысл таков: он выражает предел прочности на срез.

Прочность зависит от:

@ микроструктуры пласта;

@ пористости;

@ минерального состава.

Для примера: с ростом цементирующего вещества между зёрнами прочность падает. С ростом пористости – прочность падает.

 

s_сж=s_сж.0×(1 - а×k_п)²

k_п®0

 

а – коэффициент, характеризующий структуру пласта.

 

Коэффициент анизотропии показывает различие плоскостных свойств вдоль и поперёк напластования.

 

k_ан=s_^/s_II³1 (растяжение)

k_ан=s_^/s_II£1 (сжатие)

 

Для песчаника: s_сж~1/4×10⁸×s_II; s_сж~1/3×10⁸×s_^;

s_р ~8.3×10⁶×s_II; s_р ~7.3×10⁶×s_^.