Тақырыбы: Бойлық деформацияға ұшыраған статикалық анықталмаған стержендер жүйесі

 

Тапсырма шарты. Абсолютті қатаң брустың бір ұшы жылжымайтын топсалы тірекке бекітілсе, ал екінші ұшы топса арқылы екі стерженге ілінген.

Ескерту. Есептің схемасын 7 суреттен, ал сандық мәндерін 7 кестеден алу керек.

7 кесте

№7 Есептің сандық мәндері

Варианттар	1-	21-40	41-60	61-80	81-100	101-120	121-140	141-160	161-180	181-200
	см2
	см2
	м			1,5			1,5			1,5
	м				1,5	1,5			1,5	1,5	2,5
	м	1,5			1,5	1,5					1,5
	град

 

Талап етіледі:

1. Стержендердегі бойлық күштер мен кернеулерді жүк салмағымен Q өрнектеу;
2. Стержендердегі кернеулердің ең үлкен мәнін мүмкіндік кернеуіне теңестіріп (болат үшін [ σ ] = 160 МПа), жүк салмағының мүмкіндік мәнін [ Q_σ ] анықтау;
3. Жүйенің ең үлкен жүк көтергіштігі арқылы Q^к_т жүк салмағының мүмкіндік мәнін [ Q_р ] анықтау, егер болаттың аққыштық шегі σ_а.ш. = 240 МПа және беріктік қоры коэффициенті К_т = 1,5;
4. Екі әдіспен анықталған жүк салмағының мүмкіндік мәндерін салыстыра отырып, жүк салмағының қорытынды мүмкіндік мәнін қабылдау.

 

7 сурет. Стержендер жүйесінің есептеу схемасалары

№7 есебіне мысал

Абсолютті қатаң брустың бір ұшы жылжымайтын топсалы тірекке бекітілсе, ал екінші ұшы топса арқылы екі стерженге ілінген (7, а - сурет).

Берілгені: = 10 см²; = 15 см²; = 2 м; = 3 м; = 1,5 м; = 30⁰; Стержендердің материалы - болат Ст 3.

Талап етіледі:

1. Стержендердегі бойлық күштер мен кернеулерді жүк салмағымен Q өрнектеу;
2. Стержендердегі кернеулердің ең үлкен мәнін мүмкіндік кернеуіне теңестіріп (болат үшін [ σ ] = 160 МПа), жүк салмағының мүмкіндік мәнін [ Q_σ ] анықтау;
3. Жүйенің ең үлкен жүк көтергіштігі арқылы Q^к_т жүк салмағының мүмкіндік мәнін [ Q_р ] анықтау, егер болаттың аққыштық шегі σ_а.ш. = 240 МПа және беріктік қоры коэффициенті К_т = 1,5;
4. Екі әдіспен анықталған жүк салмағының мүмкіндік мәндерін салыстыра отырып, жүк салмағының қорытынды мүмкіндік мәнін қабылдау.

Шешуі:

Жүйені ойша байланыстарынан ажыратып, оларды H_А, R_А, N₂, N₃ реакцияларымен алмастырамыз (7, а - сурет).

Жазық жүйе үшін тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз:

. (1)

. (2)

. (3)

Созылу деформациясы кезіндегі беріктік шарты:

. (4)

Жүйенің анықталмау дәрежесі:

, (5)

мұндағы m – белгісіз күштер саны, m = 5 (H_А, R_А, N₂, N₃, Q);

n – теңдеулер саны, n = 4.

Онда = 5 - 4 = 1, яғни жүйе бір рет статикалық анықталмаған.

Есептің шарты бойынша Х_А және У_А анықтау керек емес, сондықтан есептеу жұмысында тепе-теңдік теңдеулерінің тек қана үшіншісін қолданамыз.

Жүк салмағының мүмкіндік мәнін анықтау үшін екі әдісті қолданамыз: мүмкіндік кернеу және мүмкіндік күш.

 

1 әдіс

1). Жазық жүйенің деформациясын қарастырып, абсолютті қатаң брусты «А» топсасына байланысты шексіз кіші бұрышқа бұрамыз. Брустың бойындағы В және С нүктелері вертикаль бағытта төмен қарай δ_В және δ_С шамаларына орын ауыстырып В^' және С^' сәйкес келеді (7, в - сурет). Тік бұрышты үшбұрыштардың ұқсастығынан (АВВ^' және АСС^') В және С нүктелерінің орын ауыстыру шамалары бір-бірімен байланысы төмендегі теңдеумен өрнектеледі:

немесе

. (6)

Деформациялардың шексіз кішілігін ескере отырып В және С нүктелерінің вертикаль орын ауыстыру шамаларын 2 және 3 стержендердің абсолтюттік бойлық деформацияларымен өрнектейміз:

, . (7)

(6) және (7) теңдеулерді бірге шеше отырып, аламыз:

. (8)

Гук заңы бойынша:

, . (9)

Онда (8) теңдеу келесі түрге келеді:

. (10)

Бұл теңдеуге сандық мәндерді қоя отырып, аламыз (Е₂ = Е₃ = Е):

немесе . (11)

(3) және (11) теңдеулерінің көмегімен стержендердегі N₂ және N₃ бойлық күштерді Q арқылы өрнектейміз:

,

Осыдан , онда (12)

Стержендердегі кернеу:

, . (13)

2). Стержендердегі ең үлкен кернеуді () мүмкіндік кернеуіне [σ] теңеп жүк салмағының мүмкіндік мәнін [Q_σ] анықтаймыз:

немесе 1280Q = [σ]

Осыдан .

 

2 әдіс

3). Жүк салмағын арттырғанда «2» стержендегі кернеудің мәні «3» стержендегі кернеуге қарағанда аққыштық шекке ерте жетеді. Бірақ, бұл стержендегі кернеудің мәні аққыштық шекке жеткеннен кейін көпке дейін өспейді.

Бойлық күш мәні:

. (14)

Жүк салмағының одан әрі өсуі «3» стержендегі кернеудің мәнінің аққыштық шекке жетуіне әкеліп соқтырады.

. (15)

Жүк салмағының ең үлкен мәні (Q = Q^к_т) жүйенің ең үлкен жүк көтергіштігі деп аталады.

(14) және (15) теңдеулерді (3) теңдеуге қойып, жүйенің ең үлкен жүк көтергіштігін анықтаймыз:

. (16)

Жүк салмағының мүмкіндік мәні [Q_р]:

. (17)

4). Жүк салмағының қорытынды мүмкіндік мәнін анықтау үшін екі әдіс нәтижелерін салыстырамыз:

. (18)

Қорытынды:

1). Егер болса, онда пластикалық материалдан жасаған статикалық анықталмаған жүйені екінші әдіспен есептеу қажет. Себебі, бірінші әдіске қарағанда материал аз жұмсалады және жүйеде қалдық деформация болмауына толық кепілдік бар.

2). Егер болса, онда берілген жүйені екінші әдіспен есептеуге болмайды. Себебі, жүйеде қалдық деформация пайда болады.

Берілген есеп үшін , яғни 1,36 < 1,5

Онда [ Q ] = .

 

 

 

 

7, а – сурет. Стерженнің есептеу схемасы

Есеп №8

Тақырыбы: Тік иілу

Тапсырма шарты. Берілген, қимасы қоставр пішінді арқалық үшін жанама күш пен ию моментінің эпюраларын тұрғызып, профиль нөмерін таңдау қажет.

Ескерту. Арқалық схемасын 8-ші суреттен, есептеуге қажетті сандық мәндері 8-ші кестеден алу керек. Қабылданған қоставрдың қажетті геометриялық сипаттамалары кестеден (ГОСТ 8239-72) алынады.

8 кесте

№8 Есебінің сандық мәндері

Варианттар	Р	М	q
кН	кН м	кН/м	м	м
1-20				1,5	1,2
21-40					1,7
41-60					1,8
61-80
81-100					1,5
101-120
121-140					1,6
141-160				1,5
161-180
181-200				2,5

Талап етіледі:

1. Жанама күш пен ию моментінің эпюраларын тұрғызу;
2. Арқалықтың қауіпті қимасын анықтап, профиль нөмерін таңдау (қиманы қабылдау);
3. Арқалықты толық тексеру, қауіпті қима үшін тік және жанама кернеулердің эпюраларын тұрғызу;
4. Иілу мөлшерінің эпюрасын тұрғызу (бастапқы параметрлер әдісін қолдану керек).

 

 

 

 

 

 

 

8 – сурет. Арқалықтың есептеу схемалары

 

 

№8 есебіне мысал

Тапсырма шарты. Берілген қимасы қоставр пішінді арқалық үшін жанама күш пен ию моментінің эпюраларын тұрғызып, профиль нөмерін таңдау қажет (8.1-сурет).

Берілгені: Р = 10 кН; М = 40 кН м; q = 10 кН/м; = 4 м; = 2 м.

Талап етіледі:

1. Жанама күш пен ию моментінің эпюраларын тұрғызу;
2. Арқалықтың қауіпті қимасын анықтап, профиль нөмерін таңдау (қиманы қабылдау);
3. Арқалықты толық тексеру, қауіпті қима үшін тік және жанама кернеулердің эпюраларын тұрғызу;
4. Иілу мөлшерінің эпюрасын тұрғызу (бастапқы параметрлер әдісін қолдану керек).

Шешуі:

1). Тіректерде пайда болатын байланыс реакцияларын анықтаймыз. Ол үшін 3 тепе-теңдік теңдеулерін құрамыз (8.1-сурет):

(1)

(2)

(3)

(3) теңдеуден анықтаймыз:

(2) теңдеуден анықтаймыз:

Тексеру:

Жанама күш пен ию моментінің эпюраларын тұрғызамыз. Ол үшін арқалықты бөліктерге бөліп, әрбір бөлік үшін жанама күш пен ию моментінің өрнектерін жазамыз.

I-ші бөлік.

- сызықтық заңдылық.

Бұл теңдеу бірінші бөлікте жанама күштің эпюрасы түзу сызықпен шектелетінін көрсетеді. Түзу сызықты екі нүкте арқылы жүргізуге болады.

;

.

- квадраттық заңдылық.

Бұл теңдеу бірінші бөлікте ию моментінің эпюрасы қисық сызықпен (парабола) шектелетінін көрсетеді. Қисық сызықты кем дегенде үш нүкте арқылы жүргізуге болады. Үшінші нүкте ретінде жанама күш нөлге тең болатын қиманы аламыз, себебі осы қимада ию моменті өзінің экстремальды мәніне жетеді.

Онда ;

;

.

II-ші бөлік.

- const

- сызықтық заңдылық.

Онда ;

.

Анықталған мәндер бойынша жанама күш пен ию моментінің эпюраларын тұрғызамыз (3.1, б, в - сурет).

 

2). Иілген арқалық үшін беріктік шарты келесі түрде жазылады:

, (4)

мұндағы M_zmax – қауіпті қимадағы ию моменті, M_zmax = 31,2 кНм (рис. 1, в);

- мүмкіндік кернеу, болат үшін = 160 МПа.

онда

Кесте бойынша (ГОСТ 8239-72) №20а қоставрлы қиманы қабылдаймыз да, қажетті мәндерді жазып аламыз: =203 см³; h = 200 мм; b = 110 мм; d = 5,2 мм; t = 8,6 мм; I_z = 2030 см⁴; S_z = 114 см³.

 

3). Арқалықтың беріктігін толық тексеру

а) тік кернеу бойынша:

в) жанама кернеу бойынша:

г) төртінші беріктік теориясы бойынша басты кернеу:

, мұндағы , (5)

Басты кернеу бойынша тексеру, және мәндері барынша үлкен болатын қиманың қауіпті нүктелеріне (1, 2, 3, 4) байланысты жүргізіледі. Қарастырылып отырған арқалық үшін ол В қимасы (8.1, а – сурет), мұнда = 15 кН, = 20 кНм.

1 нүкте.

мұндағы

, себебі S_z1 = 0.

онда

2 нүкте.

мұндағы

онда

3 нүкте.

онда

4 нүкте.

, себебі у₄ = 0.

онда

Беріктік шарттары толықтай орындалады. Тік және жанама кернеулердің эпюралары 8.2-суретте көрсетілген.

4). Иілу мөлшерінің эпюрасын тұрғызу.

Иілу мөлшерінің эпюрасын тұрғызу үшін бастапқы параметрлер әдісін қолданамыз және ол жалпы түрде келесідей болып жазылады:

(6)

мұндағы - бастапқы параметрлер, яғни координат бас нүктесіне сәйкес келетін иілу мөлшері, бұрылу бұрышы, момент, жанама күш және таралған күш; - сыртқы күштер, яғни момент, қадалған күш, қарқындылығы бірқалыпты және бірқалыпсыз таралған күштер; - координат бас нүктесінен күштер (моменттер) әсер ететін қимаға дейінгі арақашықтық; - координат бас нүктесінен таралған күштер өз әсерін бастайтын қимаға дейінгі арақашықтық.

Ескерту: 1). Бастапқы параметрлер әдісіне кіретін қосындылардың алдындағы таңбалар ию моментінің таңбалар заңына сәйкес келеді.

2). Таралған күш үзілмеуі тиіс.

Берілген арқалық үшін барлық параметрлерді анықтаймыз:

Онда (6) теңдеу бойынша:

(7)

Бұл теңдеу қорытынды теңдеу емес, себебі бір белгісіз параметр бар, ол . Белгісіз параметр анықтау үшін арқалық бекітілген В тірегіне байланысты келесідей шарт қабылдаймыз: .

Онда (7) теңдеу бойынша:

(8)

(8) өрнекті (7) теңдеуге қойып, берілген арқалық үшін жазылған иілу мөлшерінің қорытынды теңдеуін аламыз:

(9)

Иілу мөлшерінің эпюрасын тұрғызу үшін Е және С қималарының вертикаль бағыттағы орын ауыстыру шамаларын анықтаймыз:

,

мұндағы - иілген арқалық қимасының қатаңдығы.

,

Анықталған мәндер бойынша иілу мөлшерінің эпюрасын тұрғызамыз (8.1, г - сурет).

 

8.1 – сурет. Арқалықтың есептеу схемасы, жанама күш, ию моментінің және иілу мөлшерінің эпюралары

эп (МПа) эп (МПа)

8.2 – сурет. Қоставрлы қима үшін тұрғызылған тік және жанама кернеулердің эпюралары