Способы задания движения точки

Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отме­чалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обяза­тельно всегда задавать сами координаты; можно использовать величи­ны, так или иначе с ними связанные. Ниже описаны три основных способа задания движения точки.

1. Естественный способ. Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокуп­ность точек пространства, через которые проходит движущаяся мате­риальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При есте­ст­венном способе необходимо задать (рис. 1):а) траекторию движения (отно­си­тель­но какой-либо системы коор­динат);б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;в) положительное направление от­счета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);г) начало отсчета времени t; д) функцию S(t), которая называется законом движения**) точки.2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и ис­черпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;б) начало отсчета времени t;в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t). Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторо­го начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания дви­жения необходимо задать:а) начало отсчета радиус-вектора r;б) начало отсчета времени t;в) закон движения точки r (t).Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от век­торного способа легко перейти к коорди­натному. Если ввести единичные векторы i, j, k (i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r (t) = x(t) i +y(t) j +z(t) k. (1) Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности. Пример. На неподвижную проволочную полуокружность на­дето маленькое колечко М, через которое проходит еще прямолиней­ный прут АВ (рис. 3), равномерно вращающийся вокруг точки А (= t, где =const). Найти законы движения ко­лечка М вдоль стержня АВ и относительно полуокружности.

Для решения первой части задачи воспользуемся координатным способом, направив ось х декартовой системы вдоль стержня и выбрав ее начало в точке А. Поскольку вписанный АМС прямой (как опирающийся на диаметр),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcost,

где R радиус полуокружности. Полученный закон движения назы­вается гармоническим колебанием (колебание это будет продолжаться, очевидно, лишь до того момента, пока колечко не дойдет до точки А).

Вторую часть задачи будем решать, используя естественный спо­соб. Выберем положительное направление отсчета расстояния вдоль траектории (полуокружности АС) против часовой стрелки (рис. 3), а нуль совпадающим с точкой С. Тогда длина дуги СМ как функция времени даст закон движения точки МS(t) = R2 = 2R t, т.е. колечко будет равномерно двигаться по окружности радиусом R с угловой скоростью 2. Как явствует из проведенного рассмотрения,нуль отсчета времени в обоих случаях соответствовал моменту, когда колечко находилось в точке С.