Тема. Розв’язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки

Мета роботи: навчитись розв’язувати лінійні однорідні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами, знаходити їх загальні та часткові розв’язки.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки

2. Приклади задач

3. Роздаткові матеріали: опорні конспекти “Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами”.

4. Обчислювальні засоби: калькулятор.

 

Теоретичні відомості про диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

1. Лінійне однорідне диференціальне рівняння надалі (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вигляд:

(1)

 

Функція є розв’язком даного рівняння , ,

де ; ; - сталі, причому . , підставивши значення , , в рівняння (1), одержимо:

|:

(2)

Дане рівняння називають характеристичним рівнянням ЛОДР.

2. Якщо характеристичне рівняння (2) має два дійсні розв’язки , то загальний розв’язок ЛОДР (1) буде:

(3)

3. Якщо характеристичне рівняння (2) має один дійсний корінь k (в такому випадку кажуть, що воно має два дійсні корені, рівні між собою), то загальний розв’язок цього ЛОДР буде:

.

4. Якщо характеристичне рівняння (2) не має дійсних коренів, то воно має два спряжені комплексні корені , , де а, b – дійсні числа, і – уявна одиниця (і ). Тоді загальним розв’язком ЛОДР (1) буде:

 

Задача 1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

 

Задача 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

.

 

Задача3. Дано диференціальне рівняння . Знайти:

а) загальний розв’язок рівняння;

б) частковий розв’язок, що задовольняє початкові умови: y(0)=0 та .

Питання для самоконтролю знань, умінь

1. Загальний вигляд лінійного диференціального рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.

2. Зміст характеристичного рівняння.

3. Випадки загального розв’язку диференціального рівняння з сталими коефіцієнтами в залежності від значення

4. Задача Коші для диференціальних рівнянь другого порядку з сталими коефіцієнтами.

 

Висновок.______________________________________________________________

 

Перевірив викладач ___________ Оцінка ___________ Дата___________

Виконаємо самостійно

 

В - 1 В - 2

 

1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

 

1). 1).

2). 2).

 

2. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

 

 

 

В - 3 В - 4

 

1. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

 

1). 1).

2). 2).

 

 

2. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

 

 

В - 5 В – 6

 

1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

 

1). 1).

2). 2).

 

2. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

 

 

В - 7 В - 8

1.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння.

 

1). 1).

2). 2).

 

2. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння

 

 

ЛІТЕРАТУРА

 

1. Луценко Ю.Л. Вища математика. – Вінниця, ВДАУ. 2000.

2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М «Высшая школа», 1999.

3. Богомолов М.В. Практичні заняття з математики. – М. „Вища школа” 1979.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.Государственное издательство физико-математической литературы. 1973.

5. Зайцев І.Л. Елементи вищої математики. К. „Вища школа”. 1973.

6. БугірМ.К. Математика для економістів. Тернопіль.1998

 

РЕЦЕНЗІЯ

на робочий зошит для практичних робіт з дисципліни “Вища математика”, розроблений викладачами Кордонською І.В., Жегестовською Г.С.та Останіною Ю.В.

Робочий зошит складено на основі змісту нової програми з дисципліни “Вища математика”, у повній відповідності з методичними вимогами до організації практичних занять студентів з математики.

В робочому зошиті передбачено сімнадцять практичних робіт з дисципліни та завдання для самостійної роботи. Кожна інструктивна картка посібника містить тему, мету роботи; перелік методичного забезпечення; методичні вказівки до виконання завдань. В інструкціях наведено весь теоретичний матеріал, методичні вказівки, необхідні для виконання практичної роботи. Наведена достатня кількість задач і вправ, розв’язання яких сприятиме успішному засвоєнню знань з дисципліни. Вдало підібрані питання для контролю знань та вмінь студентів.

Використання робочого зошита при проведенні практичних занять дозволить підвищити ефективність організації самостійної роботи при формуванні практичних вмінь та навичок.

Вважаю, що зошит для практичних робіт є важливим елементом методичного забезпечення дисципліни і забезпечує підвищення ефективності навчального процесу, формування професійних компетенцій фахівців економічного напрямку.

 

Рецензент ____________/Чорна С.А./

 

В.о. директора коледжу____________ /Цуркан О.В./