Обоснование возможности прогнозирования развития усталостной трещины в данном экземпляре конструктивного элемента

Все наблюдаемые процессы, характеризующие физические явления, делятся на детерминированные и случайные. Для случайного процессе исход любого данного наблюдения предстевляет собой лишь один из многих возможных результатов.

Рассмотрим результаты испытаний по росту усталостных трещин в плоских образцах из материала Д16АТВ. Испытания проводились на растяжение при Ϭ_а = 40 МПа, Ϭ_с =120 МПа. Ширина образцов 60 мм, толщина 2 мм, начальная длина трещины 0,05 мм. До разрушения било испытано 20 одинаковых образцов. На рис. 31 изображены выбо­рочные функции (реализации) п_к (t*) (К = I, 2,..., 20), соот­ветствующие разным образцам с относительной длиной трещи t*, количеством циклов нагружения п.

Из рис. 31 видно, что процесс распространения усталостной трещины является слу­чайным процессом, так как результат каждо­го испытания невоспроизводим. Более того, этот процесс является нестационарным слу­чайным процессом, так как математическое ожидание и корреляционная функция меняют­ся с изменением относительной длины трещи­ны.

Теория нестационарных случайных про­цессов развита слабее теории стационарных и особенно эргодических процессов. До сих пор нет единой методики для анализа любых нестационарных процессов. Поэтому для та­ких процессов приходится разрабатывать специальные методы анализа, применимые только к некоторым вполне определенным ти­пам нестационарных процессов.

Рис. 31

 

Отсюда следует, что сначала необходи­мо выяснить тип рассматриваемого нестационарного случайного про­цесса. Рассмотрим подробнее процесс развития усталостной трещины. Анализ реализаций (рис. 31) показывает, что рассматриваете неста­ционарный случайный процесс может быть описан соотношением

(24)

 

где n - количество циклов, соответствующее t *; n₀ - количес­тво циклов, соответствующее начальной относительной длине трещины t̽̽ ₀; А - случайная велшиьа; ψ(t*)~ некоторая детерминиро­ванная функция.

Для дальнейшего анализа удобно ввести обозначения

Тогда уравнение (24) пиймет вид

(25)

 

где Х= X (t) - случайная функция; ψ(t) - детерминированная функция.

В соответствии с классификацией нестационарных случайных про­цессов определяемый соотношением (25) процесс относится к элементарному нестационарному случайному процессу. При этом случайная величина А называется координатой случайного процесса X, а детерминированная функция (ψ) - координатной функцией.

Элементарный нестационарный случайный процесс (25), характери­зуемый фактически одной случайной величиной А, может быть отне­сен к классу сингулярных (вырожденных) процессов, так как, чтобы знать всю реализацию этого процесса, достаточно произвести по крайней мере одно измерение при известной функции (ψ).

Используя полученные результата, рассмотрим прогнозирование процесса роста усталостных трещин в образцах и элементах конструк­ций.

На основе использования свойств элементарного нестационарного случайного процесса (25) предлагается метод прогнозирования разви­тия одной конкретной реализации, входящей в состав множества воз­можных физических реализаций данного случайного процесса. Для ре­шения вопроса прогнозирования нужно знать детерминированную функ­цию ψ (t), входящую в уравнение (25).

Приведем один из возможных подходов к определению функции ψ (t). Как известно, скорость роста усталостной трещины в листовнх образцах из алюминиевых и титановых сплавов достаточно хоро­шо описывается уравнением Париса

(26)

 

где t - полудлина трещины; m - показатель, зависящий от мате­риала.

Размах коэффициента интенсивности напряжений определяем по фор­муле

(27)

 

Где ; F(t) - поправочный множитель, зависящий

от геометрии образца; (2b - характерный размер образца).

Подставляя формулу (27) в уравнение (26), после соответствую­щих преобразований получаем (при ∆Ϭ=const):

(28)

где

(29)

 

Уравнение (28) превращаеться в уравнение (25), если

(30)

Уравнение (28) превращается в уравнение (25), воля

Таким образом, рассматриваемый процесс росла усталостной тре­щины приведен к уравнению (25), которое является характерным для элементарннх нестационарных случайных процессов. При этом попутно получено выражение (30) для определения детерминированной функция ψ(t). Зная функцию F(t) для данного образца или конструктивного элемента, можно по формуле (29) найти ψ(t,t₀), следо­вательно, и ψ(t).

После определения функции ψ(t) можно возвратиться к вопросу

предсказания развития одной конкретной реализации случайного про­цесса (25). Если провести наблюдения за развитием конкретной реа­лизации Xк на ранней стадии ее развития, то можно определить, какое значение А_к приняла случайная величина А применительно к данной реализация:

(31)

Наблюдение при t=t₁ за данной реализацией позволяет определить величину Х_к(t₁). Тогда, подставляя в выражение (31) t₁вместо t, находим

 

 

Для большой точности можно провести наблюдения за данной реализацией не один раз, а несколько, а именно при t =t1,t2.... Тогда получим несколько значений:

в этом случае

 

 

Эти наблюдения необходимо производить на ранней стадии, разви­тия рассматриваемой реализации. Тогда эффект предсказания будет иметь практическое значение. После определения величины А_к даль­нейшее развитие реализации будет определяться формулой (31), Сле­довательно, теоретически обоснована возможность прогнозирования роста усталостной трещины в конкретном экземпляре образца или кон­структивного элемента.

Методические указания

Для овладения методами оценки остаточной прочности элементов авиаконструкций с трещинами надо сначала ознакомиться с понятия­ми I -интеграла и R -кривых, обратив внимание на практические способы построения графиков I - ∆ и R -кривых. Далее нужно изучить вопросы, связанные с практическим применением I -иптегрела и R -кривых для оценки прочности некоторых конкретных элемен­тов авиационной техники при наличии в них трещин.

Для того чтобы овладеть методами оценки остаточной долговечно­сти элементов конструкций с трещинами, нужно познакомиться с урав­нениями, связывающими скорость роста усталостных трещин о коэффи­циентом интенсивности напряжений. Затем следует освоить технику интегрирования уравнений Париса, Формана и др. Желательно также обратить внимание на способ прогнозирования развитая усталостной трещины в данном экземпляре конструктивного элемента.

Литература: [3, с. 200-205]; [4, с. 112-128]; [6, с. 38-45]; [7, с. 142-165]; [12, с. 22-27].

Вопросы для самопроверки

1.Что такое I-интеграл? Как его можно вычислить?

2.В чем заключается метод R -кривых?

3.Поясните методику применения I -интеграла для описания разрушения вращающегося диска.

4.Как произвести расчет остаточной прочности с использовани­ем R -кривых (на примере панели крыла самолета).

5.Что такое раскрытие в вершине трещины?

6.Какие существуют уравнения, связывающие скорость роста усталостной трещины с коэффициентом интенсивности напряжений?

7.Как произвести расчет на усталость с помощью методов меха­ники разрушения?

8.Поясните основную идею прогнозирования развития усталосной трещины в данном экземпляре конструктивного элемента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.БОРОДАЧЕВ Н.М. О характере случайного процесса распростра­нения усталостных трещин. - Проблемы прочности, 1980, № 8,

с. 49-51.

2.БОРОДАЧЕВ Н.М., ХОДАК Н.А. О прогнозировании скорости рас­пространения усталостных трещин в образцах и тонкостенных конст­руктивных элементах с учетом некоторых их геометрических парамет­ров. - В кн.: Трещяностойкость материалов и элементов конструкций: Всесоюз. симпозиум. Киев: Наук, думка, 1980, с. 288-294.

3.БРОЕК Д. Основы механики разрушения. - М.: Высш. шк., 1980. - 368 с.

4.ВАСИЛЬЧЕНКО Г.С., КОШЕЛЕЕ П.Ф. Практическое применение ме­ханики разрушения для оценки прочности конструкций. - М.: Наука, 1974. - 147 с.

5.МАХУТОВ Н.А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разрушению. - М.: Машиностроение, 1973. - 201 с.

6.МИКЛЯЕВ П.Г., НЕШПОР Г.С., КУДРЯШОВ В.Г. Кинетика разруше­ния. - М.: Металлургия, 1979. - 278 с.

7.НОТТ Дж. Ф. Основы механики разрушения. - М.: Металлургия, 1978. - 256 с.

8.ПАРТОН В.З., МОРОЗОВ Е.М. Механика упругопластического разрушения. - М.: Наука, 1985. - 502 с.

9.РОТВАНИ М.М., УИЛХЕМ Д.П. Использование кривых сопротивления разрушению для расчета остаточной прочности. - Теоретические основы инж. расчетов, 1978, № 2, с. 29-34.

10.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ метода I -интеграла для описания разрушения вращающегося диска / М. Саката; С. Аоки, М. Канзава и др. - Теоре­тические основы инж, расчетов, 1978, № 2, с. 19-25

11. УЭЙ Р.П. Применение методов механик раврушения при проек­тировочных расчетах на усталость.— Теоретические основы инж.расчетов, 1978,№ 2, с. 1-9.

12.ХЛРДРАТ Г. Усталостная прочность и долговечность конструк­ций летательных аппаратов. - Экспресс-информация. Авиастроение /ВИНИТИ, 1971, № 5, С. 10-30.

13.ЧЕРЕПАНОВ Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М.: Наука, 1974. - 640 с.

14.CARTWRIGHT D.I. Stress Intensity Factor Determination. –In: Developments in Fracture Mechanics, 1 – London: Applied Science Publishers. 1979, p29-6.

15.Rolf S.T., BARSOM I.M. Fracture and Fatigue Control in Strictures. – New Jersey: Prentice – Hall, 1977-562p.

 

 

Приложение

Плоская деформация в обобщенное плоское напряженное состояние

Все уравнения теории упругости значительно упрощаются в тех случаях, когда ее задачу можно свести к отысканию функций только двух переменных, например, X и Y.

В упругом теле возникает плоская деформация, если перемещения будут происходить только параллельно плоскости хОу:

Такие перемещения возникают в длинном призматическом теле, ось которого параллельна оси z, при загружении его нагрузкой, перпендикулярное к оси z и постоянной вдоль этой оси. Близкими к этому случаю являются задачи о длинной подпорной стенке или плотине (рис.1.а), длинном цилиндрическом катке (вис.1.6) пли условии.

рис. 1(а,б)

что нагрузка не меняется вдоль оси z. В таких задачах деформа­ции происходят только в плоскости хОу.В этом случае

 

 

Отсутствие линейных деформаций в направлении оси z ведет к появлению нормальных напряжений где ν -коэффщиент Пуассона.

При плоской деформации

В задаче о тонкой пластинке, загруженной по боковой поверхноcти силами, параллельными ее основаниям и равномерно распределен­ыми по ее толщине (рис, 2), возможны также некоторые упрощения.

рис.2

 

В этом случае, который называется обобщенным плоским напряженным состоянием, на основаниях пластинки напряжения Ϭ_z, τ _yzи τ _xz равны нулю. Так как пластинка тонкая, то можно считать, что эти напряжения равны нулю и по всему объему пластинки. Остальные на­пряжения можно считать постоянными по толщине пластинки, т.е. не зависящими от z.. В тонкой пластинке, загруженной указанными си­лами, возникает приблизительно следующее напряженное состояние:

 

При решении задач о плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии можно пользоваться одними и теми же уравне­ниями и объединять обе задачи в одну: плоскую задачу теории упру­гости (разница имеется только в постоянных, входящих в уравнения).

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИИ 3

1,1 Модель тела с трещинами 3

1,2 Виды деформаций в области кончика трещины 5

1,3 Поля напряжений и перемещений вблизи кончика трещины. Коэффициент интенсивности напряжений 6

1,4 Условие разрушения Ирвина 9

1,5 Определение коэффициентов интенсивности напряжений.... 9

1,6 Экспериментальное определение К_с и К_1С 14

1,7 Практическое применение механики разрушения 18

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ К ОЦЕНКЕ СОСТОЯНИЯ

ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ С ТРЕЩИНАМИ 21

2,1 Общие сведения 21

2,2 Метод I -интеграла 21

2.3 Метод R -кривых 25

2.4 Раскрытие в вершине трещины (СОD) 26

2.5 Использование метода I -интеграла для описании разру­шения вращающегося диска....... 27

2.6 Расчет остаточной прочности с использованием кривых со­противления разрушению (R -кривых) 28

2.7 Развитие усталостных трещин 30

2.8 Расчет на усталость с помощью методов механики разруше­ния 32

2.9 Обоснование возможности прогнозирования развитая устало­стной трещины в данном экземпляре конструктивного элеме­нта 35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 40

Приложение. Плоская деформация в обобщенное плоское напряжен ное состояние.42