Теоретичні відомості про еліпс

 

Еліпсом називається множина точок, сума відстаней від яких до двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала , більша за відстань між фокусами . Рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі , має вигляд:

, ,

де довжина великої півосі, довжина малої півосі.

Залежність між параметрами виражається співвідношенням: .

Ексцентриситетом еліпса називається відношення фокусної відстані до великої осі:

Якщо фокуси еліпса лежать на осі , то його рівняння має вигляд:

, .

В усіх задачах на еліпс передбачено, що осі симетрії еліпса збігаються з осями координат.

 

Задача №3. Скласти рівняння еліпса, якщо його більша вісь дорівнює 10, а ексцентриситет .

Задача №4. Дано еліпс . Обчислити його ексцентриситет.

Задача № 5. Дано еліпс . Знайти координати його вершин і довжини осей.

Теоретичні відомості про гіперболу

Гіперболою називається геометричне місце точок модуль різниці відстаней для кожної з яких до двох даних фіксованих точок (фокусів) є величина стала, менша за відстань між фокусами і дорівнює . Найпростіше рівняння гіперболи:

,

де - дійсна піввісь гіперболи, - уявна піввісь.

Якщо - відстань між фокусами, то . При = гіпербола називається рівносторонньою, її рівняння має вигляд: Фокуси гіперболи знаходяться на її дійсній осі. Ексцентриситет гіперболи – це відношення фокусної відстані до довжини дійсної осі:

Асимптоти гіперболи – прямі, що задаються рівняннями .

Якщо фокуси гіперболи лежать на осі , то її рівняння має вигляд:

або ,

а рівняння асимптот такої гіперболи .

Рівняння рівносторонньої гіперболи з фокусами на осі має вигляд:

Гіперболи:

і

називаються спряженими.

В усіх задачах на гіперболу передбачено, що осі симетрії гіперболи співпадають з осями координат.

Задача №1. Скласти рівняння гіперболи, що має асимптотами прямі і проходить через точку (-5;2).

Задача №2. Скласти рівняння гіперболи, якщо її вершини лежать в точках і фокуси в точках .

Задача № 3. Дано рівняння гіперболи Знайти координати її вершин і фокусів.