Теорема 6. 2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа) Пусть при всех 
существует 
-я производная 
. Тогда для любого 
существует точка 
, лежащая между 
и (то есть 
при 
), такая что
(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)
Доказательство. Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию 
переменного 
, изменяющегося в рассматриваемой окрестности 
точки . Эта функция будет зависеть также от параметра 
:
Подберём такое значение параметра 
, равное 
, чтобы при 
функция обращалась в 0: 
. Фиксируем такое значение 
.
Тогда функция 
удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке 
(или 
, если 
): 
, что очевидно по определению функции ; согласно выбору параметра; дифференцируемость на 
и непрерывность в точках и следуют из предположенных свойств функции 
. По теореме Ролля существует такая точка 
, что
Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что
| |
|
Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем
Подстановка 
даёт
откуда следует, что
Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение в выражение для 
, получим:
| |
|
Отсюда получаем, наконец,
Что и требовалось доказать.
Общие свойства предела!
Определение 2.5. Последовательность называется постоянной, если
Уп:хп=а = соп$1.
Определение 2.6. Последовательность называется финально постоянной, р^пи она постоянна, наминая с некоторого номера:
N хп=а = соп81.
Замечание 2.2. Конечное число членов последовательности не влияет на её сходимость.
Теорема 2.1.
Финально постоянная последовательность сходится;
если 1ипхп = А то VУ(А) содержит все члены последователь-
Л-*»
ности за исключением конечного числа;если последовательность имеет предел, то он единственный:
Иша:п = а, а Итх„ = а2 => а, = а2;
п—юо Л—>оо
сходящаяся последовательность ограничена:
1ЮШ = а=> ЭМ: \/п Ы < М.
П—1 '
4 Докажем 3: пусть о, * а2,а2 = а, + Д,Д > 0 =>
Ншхп=а]: \/е=— 3N^:Уп>N^ \хп-а]\<е,
Нш х„ = а7: Уе = — 3//,: Уп > 1Ё I х„ - а, |< е.
„_*» " 2
Если N:= тах-^рЛ^}, то л:я е У(о,)пУ(я2), но ^(а1)пУ(й2) = 0=> приходим к противоречию, т.е. а^=а2 => предел единственный. ►
■4 Докажем 4: Нтл = а => Пусть € = 1 =>
Л-)оо
ЭЛГ = N(6):\/п>и\хП-а\<1=>
.к,, е (а-1,а + 1) |лг„ |< А:=тах(|я + 1|,|а-1|). Возьмем М:= тах(А,| л:, |,| х2хм |), тогда |д:„| <МУп. ►
Предел сложной функции:
Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.
39.Производные высших порядков от сложных и обратных функций.
|
