Производная и дифференциал 1 страница

Действительные числа

1. Действительные числа и их свойства. Принцип Архимеда.

2. Множество действительных чисел как метрическое пространство. Открытые и замкнутые множества в нем.

Леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел:

3. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора).

4. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля - Лебега).

5. Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса).

6. Г рани числовых множеств. Теорема существования точных граней.

Предел

7. Предел последовательности. Общие свойства предела.

8. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Предельный переход в неравенствах.

9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства.

10. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е.

11. Подпоследовательности. Теорема Больцано- Вейерштрасса.

12. Верхний и нижний пределы последовательностей.

13. Критерий Коши сходимости последовательностей.

14. Предел функции. Эквивалентность определений Гейне и Коши.

15. Свойства предела функции. Предельный переход и арифметические операции. Предельный переход и неравенства.

16. Предел сложной функции.

17. Предел по базе. Односторонние пределы, пределы на бесконечности.

18. Критерий Коши существования предела функции.

19. Замечательные пределы.

20. Существование предела монотонной функции.

21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика.

Непрерывность

22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация.

23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

24. Теорема Вейерштрасса.

25. Теорема Кольцано - Коши.

26. Критерий непрерывности монотонной функции.

27. Теорема об обратной функции.

28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

29. Непрерывность основных элементарных функций.

Производная и дифференциал

30. Производная функции. Связь между существованием производной и непрерывностью.

31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия диффсрснцируемости.

32. Инвариантность формы первого дифференциала.

33. Правила дифференцирования.

34. Производная сложной функции.

35. Производная обратной функции.

36. геометрический смысл производной и дифференциала.

37. Производные основных элементарных функций.

38. Производные высших порядков. Правила вычисления, формула Лейбница.

39. Производные высших порядков от сложных и обратных функций.

40. Дифференцирование параметрически заданных функций.

41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы. Теоремы о среднем:

42. Теорема Ферма.

43. Теорема Ролля.

44. Формула конечных приращений Лагранжа.

45. Теорема Коши.

46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0.

47. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 8/8.

48. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано.

49. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.

50. Основные разложения по формуле Тейлора.

Применение дифференциального исчисления к задачам исследования поведения функций:

51. Условия монотонности функций.

52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

53. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную.

54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные.

55. Условия выпуклости и наличия точки перегиба графика функции.

56. Вертикальные и наклонные асимптоты.

17. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности.   (Гейне): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если существует такое число , что для произвольной последовательности (xn) значений x, a < xn < x0 (x0 < xn < b), сходящейся к точке x0 при n → ∞, соответствующая последовательность (f(xn)) значений функции f сходится к точке A. (Коши): Функция f имеет в точке x0 предел слева (справа), если Число A называем пределом слева (справа) функции f в точке x0 и обозначаем f(x0 - 0) (f(x0 + 0)) или . Функция f имеет предел в точке x0 тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равные между собой пределы слева и справа.   Предел функции на бесконечности в математическом анализе описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим по модулю. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Запись этого факта: Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство |f(x) – b| < e. Записывается это так:	18. Критерий Коши существования предела функции.   Условие Коши. Будем говорить, что функция f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши, если для любого положительного числа e найдется положительное d(e), что для любых x1,x2, удовлетворяющих условию 0<|x1-a|<d, 0<|x2-a|<d, справедливо неравенство |f(x1-f(x2)|<e. Критерий Коши. Для того, чтобы существовал предел функции f(x) в точке a (limx ->af(x) = A) необходимо и достаточно, чтобы f(x) удовлетворяла в точке a условию Коши. Доказательство Необходимость. Пусть и . Это означает, что для любого  > 0 существует такое  > 0, что для всех точек справедливо неравенство .   Достаточность . Теорема об эквивалентности двух определений предела: (Определение предела по Гейне-Борелю). Применяем критерий Коши для последовательности. Докажем, что этот предел не зависит от выбора последовательности . Для этого рассмотрим другую извлеченную последовательность , тоже сходящуюся к a. Соответствующая ей последовательность сходится к пределу B. Для доказательства, что A=B, допустим противное. Рассмотрим последовательность: , сходящуюся к a. Последовательность значений функции не имеет предела, т.к. ее четные и нечетные члены сходятся к разным пределам A и B соответственно. Таким образом, получилось противоречие.	19. Замечательные пределы. Первый замечательный предел Доказательство Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1. Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1). Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX. Очевидно, что: (1) (где SsectOKA — площадь сектора OKA) (из : | LA | = tgx) Подставляя в (1), получим: Так как при: Умножаем на sinx: Перейдём к пределу: Найдём левый односторонний предел: Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1 Второй замечательный предел   . Доказательство Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x → ∞. По свойству для неравенств имеем . Прибавим ко всем частям неравенств единицу . По свойству степеней имеем Так как и , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и , что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично.
20. Существование предела монотонной функции. Функция называется - монотонно возрастающей, если из -строго монотонно возрастающей, если из - монотонно убывающей, если из -строго монотонно убывающей, если из . Если же для любых точек x1ÎX и x2ÎX, x1 < x2, выполняется неравенство f(x1)£f(x2) (соответственно неравенство f(x1) ³ f(x2)), то функцию называют неубывающей (невозрастающей). Иногда удобнее и в этом случае называть функцию возрастающей (убывающей) – но в широком смысле. Возрастающие и убывающие на множестве X функции называются монотонными на этом множестве. Теорема. Пусть функция – неубывающая на (a, b), где, в частности, может быть . Если она ограничена сверху числом M, то существует конечный предел . Если же она не ограничена сверху, то . Аналогично, если функция f ограничена снизу, то в точке a у неё существует конечный предел справа, а если f не ограничена снизу, то . Подобные утверждения справедливы и для убывающих функций; их можно получить, перейдя от функции f к функции –f. Доказательство. Из ограниченности f следует существование конечной точной верхней грани . Таким образом, , и для всякого e > 0 существует такое, что . Но в силу того, что f не убывает, . Таким образом, для любого e>0 можно указать такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам . Это и значит, что . Пусть теперь неубывающая функция f не ограничена сверху. Тогда для любого M существует такое, что M < f(x1), и вследствие того, что f не убывает на X, , а это и говорит о том, что .	21. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Сравнение асимптотического поведения функций. «О-о» символика. Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю. Примеры. Функция f(x)=(x-1)2 является бесконечно малой при x→1, так как Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞. Если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке . «O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что: f является «O» большим от g при , если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство ; f является «о» малым от g при , если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность точки x0, что для всех имеет место неравенство Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при . Сравнение асимптотического поведения функций Определение. Говорят, что функция есть бесконечно малая по сравнению с функцией при и пишут , если , где - бесконечно малая функция при . Замечание. Если функция в , то последнее определение можно записать как Определение. Говорят, что функции и эквивалентны при и пишут , если , где - бесконечно малая функция при . Замечание. Если в некоторой ,	22. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва, их классификация. Определение 1: Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки а. f(x) называется непрерывной в точке а если . Определение 2: f(x) называется непрерывной в точке а, если " e > 0 $ d > 0: | f(x) - f(а) | < e при | х - а | < d. f(x) = f(а) Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx0, если выполнены 3 условия: 1-она определена в точке x0 и в некоторой её окрестности; 2-имеет предел при x → x0; 3-этот предел равен значению функции в точке x0. Предельные точки области определения функции, в которых эта функция не является непрерывной, называются точками её разрыва. Классификация точек разрыва: 1) - устранимая т.р. и они конечны, но . 2) - т.р. 1-го рода: - конечны, но . К примеру, (рис. 8.3). 3) - т.р. 2-го рода: все остальные т.р., например, точки бесконечного разрыва. В частности,
23. Непрерывность сложной функции. Арифметические свойства непрерывных функций.   Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = j(x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и j. y = f(j (x)). Пример: y = sin() - сложная функция. y = sin t, где t = .     Если f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и (при условии g(а) ¹ 0) непрерывны в точке а. Доказательство: По условию f(x) = f(а), g(x) = g(а) Þ [ f(x) + g(x)] = f(a) + g(а). а это и означает непрерывность суммы функций в точке а. Точно также доказывается непрерывность разности, произведения, частного. Теорема доказана.	24. Теорема Вейерштрасса. Первая теорема Вейерштрасса. Пусть . Тогда ограничена на . Доказательство: Докажем, что . Предположим противное, то есть . Возьмем =1,2,3… Получим : 1) 2) Из этих определений получаем . => -подпоследовательность последовательности : . -непрерывна в точке => . -подпоследовательность последовательности : => . Противоречие. Вторая теорема Вейерштрасса. Пусть . Тогда Замечание: Непрерывная на отрезке функция на этом отрезке достигает своего наибольшего и наименьшего значения, причем в условиях теоремы отрезок по существу. Доказательство: По условию теоремы => ограничена на => Докажем, что . Предположим противное, то есть . Рассмотрим вспомогательную функцию на . По 1 теореме Вейерштрасса ограничена на , то есть (< )- верхняя граница. , то есть . Противоречие.	25. Теорема Больцано-Коши. Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что f(a) = A < B = f(b). Тогда для любого существует такое, что f(c) = C. Доказательство Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков(на левом конце меньше нуля, на правом больше). Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда c = lim an = lim bn, и в силу непрерывности функции g(c) = lim g(an) = lim g(bn). Поскольку получим, что
26. Критерий непрерывности монотонной функции.   Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).   Доказательство. Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для "x0Î(a,b], и для "x0Î[a,b). Доказательство леммы. Положим для некоторого x0Î(a,b], A= , тогда для "xÎ[a,x0):f(x)£A и для "e>0$ x¢Î[a,x0):A-e <f(x¢).   Так как функция монотонно возрастает, то "xÎ(x¢,x0):A-e < f(x¢) £ f(x)£A. Таким образом, равенство доказано. Аналогично для предела справа . Для монотонно убывающей функции справедливо аналогичное утверждение. Следствие 1. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы. Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода. Доказательство критерия. Функцию будем предполагать монотонно возрастающей. Необходимость уже была доказана ранее (пункт 4, следствие 2). Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Этот разрыв обязан быть разрывом первого рода и, следовательно, должно нарушаться одно из двух соотношений: , . Пусть, например, . Так как функция возрастает, то это означает, что .По лемме . Имеем при x £ x0, f(x0) < f(x0+0) £ f(x) при . Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются, что противоречит условию теоремы. Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева. Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.	27. Теорема об обратной функции. если функция f: X → Y, где Y = f (X), обратима, то для нее существует единственная обратная функция f −1: Y → X и если y = f (x) то x = f −1(y), и если x = f −1(y), то y = f (x) и f −1(f (x))= x при любом x ∈ X, f −1(f (y))= y при любом y ∈ Y. Доказательство. Положим для определенности, что функция f возрастающая. Обратимость функции f — очевидное следствие теоремы о корне (Пусть функция f возрастает (или убывает) на промежутке I, число а - любое из значений, принимаемых f на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень на этом промежутке I.)   . Поэтому остается доказать, что функция g, обратная к f, возрастает на множестве E(f). Пусть x1 и x2 — произвольные значения из Е (f), такие, что x2> x1. и пусть y1=g(x1), y2=g(x2). По определению обратной функции x1=f(y1) и x2=f(y2). Воспользовавшись тем условием, что f — возрастающая функция, находим, что допущение y1 ≥ y2 приводит к выводу f (y1)≥f(y2), т. е. x1≥ x2. Это противоречит предположению x2> x1. Поэтому y2> y1, т. е. из условия x2> x1 следует, что g (x2)>g (x1). Именно это и требовалось доказать.	28, 32. Инвариантность формы первого дифференциала. 28. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора. Функция f: X → R называется равномерно-непрерывной на множестве X, если Теорема Кантора Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], то она равномерно-непрерывна на этом сегменте.   32. Инвариантность формы первого дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала Пусть y = f (u (x)) является сложной функцией аргумента x. По определению дифференциала функции имеем df = f '(x)· u '(x)· dx. Так как, в свою очередь, du = u '(x)· dx, то из последнего соотношения получим df = f '(u)· du. Что совпадает с соотношением dy = f '(x)· dx. Форма дифференциала первого порядка сохраняется вне зависимости от того, является ли аргумент независимым или является в свою очередь функцией другого аргумента.
29. Непрерывность основных элементарных функций. Все элементарные функции являются непрерывными в любой точке своей области определения. Функция называется элементарной, если она построена из конечного числа композиций и комбинаций (с использованием 4 действий - сложение, вычитание, умножение и деление) основных элементарных функций. Множество основных элементарных функций включает в себя: Алгебраические многочлены Рациональные дроби ; Степенные функции ; Показательные функции ; Логарифмические функции Тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции Гиперболические функции Обратные гиперболические функции	30. Производная функции. Связь между производной и непрерывностью. Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции называется такое число , что функцию в окрестности U (x 0) можно представить в виде f (x 0 + h) = f (x 0) + Ah + o (h) если существует. Определение производной функции через предел Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции f в точке x 0 называется предел, если он существует, Общепринятые обозначения производной функции y = f (x) в точке x 0	31. Дифференциал. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Дифференциа́л — линейная часть приращения функции. Для функций Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция где f '(x 0) обозначает производную f в точке x 0. Таким образом df есть функция двух аргументов . Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение   Теорема: Для того, чтобы функция f (x) была дифференцируема в точке x 0 необходимо и достаточно, чтобы у нее существовала производная в этой точке. При этом   Δ y = f( x0+Δ x) -f (x 0) = f ' (x 0)Δ x+α (Δ x)Δ x,   где α (Δ x) - бесконечно малая функция, при Δ x →0. Доказательство Необходимость. Предположим: функция дифференцируема в точке x0, т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx. Разделив обе части данного равенства на Δx, получим: ΔxΔy=A+α(Δx). Из определения производной функции в точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A. Т.е. получили, что существует конечная производная функции в точке x0 и y/(x0)=A. Достаточность. Пусть существует конечная производная y/(x0)∈R. Покажем дифференцируемость функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy. Если функция f(x) имеет конечный предел b при Δx→0, то ее можно представить: f(x)=b+α(x) (α(x)→0). Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx), где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0). Теорема доказана.
33. Правила дифференцирования. При дифференцировании константу можно выносить за производную: Правило дифференцирования суммы функций: Правило дифференцирования разности функций: Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): Правило дифференцирования частного функций: Правило дифференцирования функции в степени другой функции: Правило дифференцирования сложной функции: Правило логарифма при дифференцировании функции:	34. Производная сложной функции. Если функция u = u (x) имеет в некоторой точке x0 производную и принимает в этой точке значение u0 = u (x0), а функция y= f(u) имеет в точке u0 производную y 'u= f '(u0), то сложная функция y = f(u(x)) в указанной точке x0 тоже имеет производную, которая равна y 'x= f '(u0)· u '(x0), где вместо u должно быть подставлено выражение u = u (x). Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента по x. Доказательство. При фиксированном значении х 0 будем иметь u 0= u (x 0), у 0 =f(u 0 ). Для нового значения аргумента x0 +Δ x: Δ u = u (x0 + Δ x) – u (x 0), Δ y = f (u0 +Δ u) – f (u0). Т.к. u – дифференцируема в точке x0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтому при Δ x →0 Δ u →0. Аналогично при Δ u →0 Δ y →0. По условию . Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δ u →0) , где α→0 при Δ u →0, а, следовательно, и при Δ x →0. Перепишем это равенство в виде: Δ y = y 'uΔ u +α·Δ u. Полученное равенство справедливо и при Δ u =0 при произвольном α, так как оно превращается в тождество 0=0. При Δ u =0 будем полагать α=0. Разделим все члены полученного равенства на Δ x . По условию . Поэтому, переходя к пределу при Δ x →0, получим y 'x= y 'u·u 'x. Теорема доказана. Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию y = f(u(x)), нужно взять производную от "внешней" функции f, рассматривая ее аргумент просто как переменную, и умножить на производную от "внутренней" функции по независимой переменной. Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то нахождение производной y 'x осуществляется последовательным применением предыдущей теоремы. По доказанному правилу имеем y 'x= y 'u· u 'x. Применяя эту же теорему для u 'x получаем , т.е. y 'x = y 'x· u 'v· v 'x = f 'u (u)· u 'v (v)· v 'x (x).	35. Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у 0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0 = g (x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула . Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0 = g (y0). Следовательно, при Δ x →0 Δ y →0. Покажем, что . Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δ y →0. Тогда Δ x →0 и α(Δx)→0, т.е. . Следовательно, , что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде .

35. Производная обратной функции. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у 0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0 = g (x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную , т.е. справедлива формула . Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0 = g (y0). Следовательно, при Δ x →0 Δ y →0. Покажем, что . Пусть . Тогда по свойству предела . Перейдем в этом равенстве к пределу при Δ y →0. Тогда Δ x →0 и α(Δx)→0, т.е. . Следовательно, , что и требовалось доказать. Эту формулу можно записать в виде .

36. Геометрический смысл производной и дифференциала. Геометрический смысл производной Рассмотрим график функции y = f(x), определенной и непрерывной на (a,b). Зафиксируем произвольную точку x на (a,b), и зададим приращение D x№ 0, причем x+D x О (a,b). Пусть точки M,P - точки на графике f(x), абсциссы которых равны x, x+D x (рис.21). Координаты точек M и P имеют вид M(x,f(x)), P(x+D x,f(x+D x). Прямую, проходящую через точки M, P графика функции f(x) будем называть секущей. Обозначим угол наклона секущей MP к оси ОX через f (D x). Определение 3. Если существует предельное положение секущей MP при стремлении точки N к точке M вдоль графика функции при D x® 0), то это предельное положение называется касательной к графику функции f(x) в данной точке M этого графика. Из данного определения следует, что для существования касательной к графику f(x) в точке M достаточно, чтобы существовал предел limD x® 0f (D x) = f 0, который равен углу, образованному касательной с положительным направлением оси OX. Справедливо утверждение: Предложение 1. Если f(x) имеет в данной точке x производную, то существует касательная к графику функции f(x) в точке M(x,f(x)), причем угловой коэффициент этой касательной равен производной f'(x). Из этого утверждения вытекает геометрический смысл производной: производная f'(x0) есть угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y = f(x) в точке x0, который в свою очередь равен tg угла наклона касательной к графику функции. Тогда уравнение касательной к кривой f(x) в точке x0 имеет вид y = f(x0)+f'(x0)(x-x0) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА Рассмотрим функцию y=f(x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M(x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δ x, тогда функция получит приращение Δ y = NM 1. Значениям x +Δ x и y +Δ y на кривой y = f(x) будет соответствовать точка M 1(x +Δ x; y +Δ y). Из Δ MNT находим NT = MN ·tg α. Т.к. tg α = f '(x), а MN = Δ x, то NT = f '(x)·Δ x. Но по определению дифференциала dy = f '(x)·Δ x, поэтому dy = NT. Таким образом, дифференциал функции f(x), соответствующей данным значениям x и Δx, равен приращению ординаты касательной к кривой y=f(x) в данной точке х.

37. Производные основных элементарных функций. y = xn. Если n – целое положительное число, то, используя формулу бинома Ньютона: (a + b)n = a n+ n·a n-1· b + 1/2∙ n(n – 1)a n-2∙ b 2+ 1/(2∙3)∙ n(n – 1)(n – 2)an-3b3+…+ bn, можно доказать, что Итак, если x получает приращение Δ x, то f(x +Δ x) = (x + Δ x)n, и, следовательно, Δ y =(x +Δ x) n – xn = n·xn-1 ·Δ x + 1/2·n·(n– 1 )·xn-2 ·Δ x2 +…+Δ xn. Заметим, что в каждом из пропущенных слагаемых есть множитель Δ x в степени выше 3. Найдем предел Мы доказали эту формулу для n Î N. Далее увидим, что она справедлива и при любом n Î R. y = sin x. Вновь воспользуемся определением производной. Так как, f(x +Δ x)= sin(x +Δ x), то   Таким образом, Аналогично можно показать, что Рассмотрим функцию y = ln x. Имеем f (x +Δ x)=ln(x +Δ x). Поэтому Итак, Используя свойства логарифма можно показать, что