Производная и дифференциал 2 страница

38. Производные высших порядков. Правила вычисления, правило Лейбница. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [ a; b ]. Значение производной f '(x), вообще говоря, зависит от x, т.е. производная f '(x) представляет собой тоже функцию переменной x. Пусть эта функция также имеет производную. Дифференцируя ее, получим так называемую вторую производную от функции f(x). Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной от данной функции y=f(x) и обозначается y ''или f ''(x). Итак, y '' = (y ')'. Например, если у = х ⁵, то y '= 5 x ⁴, а y ''= 20 x ⁴. Аналогично, в свою очередь, производную второго порядка тоже можно дифференцировать. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается y'''или f'''(x). Вообще, производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первая) от производной (n – 1)-го порядка и обозначается символом y ⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x): y ⁽ⁿ⁾ = (y ^(n-1))'.

Таким образом, для нахождения производной высшего порядка от данной функции последовательно находят все ее производные низших порядков.

40. Дифференцирование параметрически заданных функций.

41. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы. Пусть имеем функцию y=f(x), где x – независимая переменная. Тогда дифференциал этой функции dy = f '(x) dx также зависит от переменной x, причем от x зависит только первый сомножитель f '(x), а dx = Δ x от x не зависит (приращение в данной точке x можно выбирать независимо от этой точки). Рассматривая dy как функцию x, мы можем найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y=f(x) называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d ² y: d (dy)= d ² y. Найдем выражение второго дифференциала. Т.к. dx от x не зависит, то при нахождении производной его можно считать постоянным, поэтому d ² y = d (dy) = d [ f '(x) dx)] = [ f '(x) dx ]' dx = f ''(x) dx·dx = f ''(x)(dx)². Принято записывать (dx)² = dx ². Итак, d ² у = f ''(x)d x ². Аналогично третьим дифференциалом или дифференциалом третьего порядка функции называется дифференциал от ее второго дифференциала: d ³ y = d (d ² y)=[ f ''(x) dx ²]' dx = f '''(x) dx ³. Вообще дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка: d ⁿ(y)= d (d ^n-1 y) d ⁿ y = f ⁽ⁿ⁾(x) dx ⁿ Отсюда, пользуясь дифференциалами различных порядков, производную любого порядка можно представить как отношение дифференциалов соответствующего порядка:

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка При

-й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение

зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная

как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, x = φ(t). Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и

: если

— независимая переменная, то

если

при этом,

С учётом зависимости

, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

42. Теорема Ферма

43. Теорема Ролля

44. Формула конечных приращений Лагранжа. Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [ a; b ] и дифференцируема в интервале (a; b), то найдётся такая точка

, что

. Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [ a; b ] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка. Механическое истолкование: Пусть f (t) — расстояние точки в момент t от начального положения. Тогда f (b) − f (a) есть путь, пройденный с момента t = a до момента t = b, отношение

— средняя скорость за этот промежуток. Доказательство Для функции одной переменной: Введем функцию

. Для нее выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка ее значения равны f (a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю:

что и требовалось доказать.

45. Теорема Коши. Пусть даны две функции

такие, что:

определены и непрерывны на отрезке

; производные

конечны на интервале

производные

не обращаются в нуль одновременно на интервале

; тогда

, где

Доказательство Для доказательства введём функцию

Для неё выполнены условия теоремы Ролля: на концах отрезка её значения равны f (a). Воспользовавшись упомянутой теоремой, получим, что существует точка c, в которой производная функции F равна нулю, а

равна как раз необходимому числу.

46. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности 0/0 Точная формулировка Условия:

или

;

дифференцируемы в проколотой окрестности

;

в проколотой окрестности

; существует

, тогда существует

. Пределы также могут быть односторонними. Отношение бесконечно малых Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида

). Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f (a) = g (a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку

теорему Коши. По этой теореме получим:

, но f (a) = g (a) = 0, поэтому

. Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного, что является определением предела отношения функций.

47. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенности ∞/∞ Точная формулировка Условия:

или

;

дифференцируемы в проколотой окрестности

;

в проколотой окрестности

; существует

Докажем теорему для неопределённостей вида

. Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

. Зафиксируем t из отрезка

и применим теорему Коши ко всем x из отрезка

, что можно привести к следующему виду:

. Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f (t) и g (t) — константы, а f (x) и g (x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение ε, что и в определении для α:

. Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и

. По любому данному ε можно найти такое ε₁, чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше ε, значит, предел отношения функций действительно равен A. Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

. В определении β будем брать

; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда

48. Локальная формула Тейлора. Остаточный член в форме Пеано. Пусть

-- остаток в формуле Тейлора для функции

в точке

, и функция

имеет непрерывную

-ю производную. Тогда

-- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как

, при

. (Остаточный член

, о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.) Остаточный член в форме Пеано: В форме Пеано:

при

Доказательство. Утверждение теоремы означает, что существует

При

остаток

будет иметь тот же порядок малости, что

, а при

-- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём

раз:

51. Условия монотонности функции.

52. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Пусть дана функция

— внутренняя точка области определения f. Тогда x ₀ называется точкой локального максимума функции f, если существует проколотая окрестность

такая, что

x ₀ называется точкой локального минимума функции f, если существует проколотая окрестность

такая, что

Если неравенства выше строгие, то x ₀ называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно. x ₀ называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если

x ₀ называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции f (x ₀) называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума. Следующая теорема даёт необходимое условие того, чтобы точка

была точкой локального экстремума функции

. Теорема 7.4 Если точка

-- это точка локального экстремума функции

, определенной в некоторой окрестности точки х0, и существует производная в этой точке

, то

. Доказательство этой теоремы сразу же следует из теоремы Ферма (см. гл. 5). Утверждение теоремы можно переформулировать так: если функция

имеет локальный экстремум в точке

, то либо 1)

, либо 2) производная

не существует. Точка

называется критической точкой функции

, если

непрерывна в этой точке и либо

, либо

не существует. В первом случае (то есть при

) точка

называется также стационарной точкой функции

. Итак, локальный экстремум функции

может наблюдаться лишь в одной из критических точек этой функции.

54. Достаточное условие экстремума, использующее высшие производные. Пусть

-- стационарная точка функции

, и в этой точке существует вторая производная

, причём

. Тогда при

точка

есть точка локального максимума, а при

-- локального минимума. Доказательство. Поскольку

, то по определению производной

Пусть

. Тогда из существования предела следует, что для любого

из некоторой достаточно малой проколотой окрестности

точки

выполняется то же неравенство для допредельного выражения, то есть

при

. Поскольку, по предположению теоремы,

-- стационарная точка, то

, откуда

, то есть

имеет знак, противоположный знаку

при

. Остаётся лишь применить теперь предыдущую теорему, из которой следует, что

-- точка локального максимума. Доказательство для случая

совершенно аналогично.

55,56. Условия выпуклости и точки перегиба графика функции. Точка перегиба функции

внутренняя точка x ₀ области определения f, такая что f непрерывна в этой точке, существует конечная или определенного знака бесконечная производная в этой точке, и x ₀ является одновременно концом интервала строгой выпуклости вверх и началом интервала строгой выпуклости вниз, или наоборот. Необходимое условие существования точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки x ₀, имеет в x ₀ точку перегиба, то

. Первое достаточное условие существования точки перегиба: если функция f (x) в некоторой окрестности точки x k раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и

, и

при

, а

, то функция f (x) имеет в x ₀ точку перегиба. Второе достаточное условие существования точки перегиба: Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю, а третья не равна нулю, то эта точка является точкой перегиба. 56. Вертикальные и наклонные асимптоты. Асимптотой графика функции

называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки

до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции f (x) при x → a, если выполнено хотя бы одно из условий

Прямая y = b называется горизонтальной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если

Прямая y = kx + b, k ≠ 0 называется наклонной асимптотой графика функции f (x) при x → +∞, если Аналогично определяются горизонтальная и наклонная асимптоты при x → –∞.

Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

53. Достаточное условие экстремума, использующее первую производную. Пусть в точке

функция

непрерывна, а производная

при переходе через точку

меняет знак. Тогда

– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+». Доказательство. Пусть

при

. По теореме Лагранжа

, где

.Тогда если

, то

; поэтому

, следовательно,

, или

. Если же

, то

; поэтому

, следовательно,

или

. Таким образом доказано, что

в любых точках вблизи

, т.е.

– точка максимума функции

. Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана. Если при переходе через точку

производная не меняет знак, то в точке

экстремума нет.

12. Частичные пределы. Верхний и нижний пределы. Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса), а из всякой неограниченной — бесконечно большую. В множестве всех частичных П. последовательности всегда имеется как наибольший, так и наименьший (конечный или бесконечный). Наибольший (соответственно наименьший) частичный П. последовательности x_n, n = 1, 2,..., называют её верхним (соответственно нижним) пределом и обозначается (соответственно ). Например, Последовательность имеет конечный или бесконечный П. тогда и только тогда, когда её верхний П. совпадает с нижним, при этом их общее значение и является её П.	11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса Предел (конечный и бесконечный) какой-либо подпоследовательности называется частичным пределом последней. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (теорема Больцано — Вейерштрасса),
15. Свойства пределов функции 1) Предел постоянной величины Предел постоянной величины равен самой постоянной величине: 2) Предел суммы Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций: Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций. Расширенное свойство предела суммы: Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций: Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций. 3) Предел произведения функции на постоянную величину Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела: 4) Предел произведения Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций: Расширенное свойство предела произведения Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций: 5) Предел частного Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:	14.Предел функции Коши и Гейне, эквивалентность Предел функции в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.	13. Критерий Коши сходимости последовательности Определение. Подпоследовательность называетсяпоследовательностью Коши или фундаментальной, если Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность { x_n } сходилась, необходимо и достаточно чтобы она была фундаментальной. Доказательство: Необходимость. Пусть { xn } сходится. Достаточность. Пусть { x_n } - фундаментальная последовательность. Докажем, что она ограничена и . Так как последовательность фундаментальна, то , в -окресности которой существуют все элементы x ₁, x ₂, x ₃,..., x_N _{− 1}. Предположим, A = max { \| x ₁ \|, \| x ₂ \|, \| x ₃ \|,..., \| x_N _{− 1} \|, \| x_n − ε \|, \| x_n + ε \| }. В отрезке [A, -A] содержатся все элементы последовательности, т.е. { x_n } - ограниченна. В следствие теоремы Больцано-Вейерштрасса () < (x_n − ε; x_n + ε). в силу произвольности

9. ББП И БМП их свойства Бесконечно большая последовательность Определение. Последовательность {x_n} называетсябесконечно большой, если для любого положительного числаAможно указать номерNтакой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3,... 1, n,... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для x_n с нечетными номерами. Бесконечно малая последовательность Определение. Последовательность {x_n} называетсябесконечные малой, если для любого положительного числаεможно указать номерNтакой, что при все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству . Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной 1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Пусть α _n и β _n - бесконечно малые последовательности. ε > 0 N ₁ : n > N ₁ , < ε > 0 N ₂ : n > N ₂ , < \| α _n + β _n \| \| α _n \| +\| β _n \| ε > 0 N = max (N ₁ , N ₂ ): n > N \| α _n + β _n \| < ε + ε = 2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 3. Бесконечно малая последовательность ограничена. M = max { ε,\| α₁ \|,..., \| α _N _{− 1} } n: \| α _n \| M. 4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность. 5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль..	3. Принцип вложенных отрезков Коши—Кантора Формулировка Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одна точка c, принадлежащая всем отрезкам данной системы. Если, кроме того, длина отрезков системы стремится к нулю: то c — единственная общая точка всех отрезков данной системы. Доказательство 1) Существование общей точки. Множество левых концов отрезков {a_n} лежит на числовой прямой левее множества правых концов отрезков {b_n}, поскольку В силу аксиомы непрерывности, существует точка c, разделяющая эти два множества, то есть в частности Последнее неравенство означает, что c — общая точка всех отрезков данной системы. 2) Единственность общей точки.Пусть длина отрезков системы стремится к нулю. Покажем, что существует только одна точка, принадлежащая всем отрезкам системы. Предположим противное: пусть имеется две различные точки c и c', принадлежащие всем отрезкам системы: Тогда для всех номеров n выполняются неравенства: В силу условия стремления к нулю длин отрезков для любого для всех номеров n, начиная с некоторого будет выполняться неравенство b_n − a_n < ε Взяв в этом неравенстве , получим Противоречие. Лемма доказана полностью.	8. Свойства сход. последовательностей. Предельный переход под знаком неравнества. числовая последовательность (x_n) называетсясходящейся, если Если последовательность не является сходящейся, то ее называют расходящейся. Если последовательности (x_n) и (y_n) действительных чисел сходятся и , то Теорема. Если элементы сходящейся последовательности { x_n }, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b). Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности { x_n }, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство \| x_n - a \| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
4. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега).	10. Критерий сходимости монотонной последовательности. Число е.(19б.) Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним. Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего. Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним. Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей. Свойства! -Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу. -Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху. -Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны. -Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях) Теорема. Если { x_n } - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если { x_n } - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится. Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность x_n ограниченна. В силу ограниченности , 1) Если последовательность не убывает, то 2) Если последовательность не возрастает, то Рассмотрим первый случай. Попределению sup: Т.к. { x_n } не убывает, то при при при . Второй случай рассматривается аналогично.	5. Принцип Больцано-Вейерштрасса