Самостоятельной домашней работе

Задание 1. Параметризация регрессионных уравнений.

 

Классический подход к оцениванию параметров линейных зависимостей (параметризации регрессионных уравнений) рассматривается на примере линейной парной регрессии

y = b₀ + b₁x + e

= y_x = b₀ + b₁x,

где y – фактическое значение результативного признака;

или y_x – теоретические значение результативного признака, найденные из уравнения регрессии, путём подстановки в него фактических значений фактора х;

b₀, b₁ – параметры (коэффициенты) уравнения регрессии;

e - случайная составляющая (возмущение, ошибка), характеризующая отклонение фактического значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

 

Имеются два ряда эмпирических (полученных из опыта) данных x (x ₁, x ₂, …, x _n) и y (y ₁, y ₂, …, y _n), отображение соответствующих им точек с координатами (x_i, y_i), где i = 1, 2, …, n, на координатной плоскости называется полем корреляции.

По расположению эмпирических точек можно предположить вид корреляционной зависимости. Например, наличие линейной корреляционной зависимости между переменными х и у.

Построение линейной регрессии предполагает оценку её параметров b₀ и b₁ с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Согласно МНК неизвестные параметры b₀ и b₁ получают таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений y_i от значений , найденных по уравнению регрессии была бы минимальной

Таким образом, из множества возможностей, положение линии регрессии на графике выбирается таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была минимальной

e_{i =} y_i – ,

Для поиска минимума функции, необходимо вычислить частные производные по каждому из параметров b₀ и b₁ и приравнять их к нулю

В результате преобразований получается следующая система нормальных уравнений для оценки параметров b₀ и b₁

Искомые оценки параметров b₀ и b₁ находят решая систему нормальных уравнений методом подстановки, последовательного исключения переменных либо методом определителей. Так,

.

Разделив обе части уравнений системы на n, получим

Из первого уравнения системы получим

После подстановки во второе уравнение получим

где – выборочная ковариация признаков (корреляционный момент)

– дисперсия признака х

Решение системы нормальных уравнений может быть осуществлено методом определителей

где D – определитель системы;

Db ₀, Db₁ – частные определители, получаемые путём замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части исходной системы нормальных уравнений;

, , .

 

Данные о стоимости основных фондов и продукции предприятий (фирм), млн руб.

фирма	x	y	S xy	x 2	y 2
	201,6	1011,3	203878,1	40642,56
	242,6	1490,4		58854,76
	255,4	1024,5	261657,3	65229,16
	323,7	559,9	181239,6	104781,7
	331,9	1195,1	396653,7	110157,6
	384,6	1050,1	403868,5	147917,2
	397,7	1482,8	589709,6	158165,3
	450,7	1151,7	519071,2	203130,5
	457,6	1020,6	467026,6	209397,8
	515,3		849214,4	265534,1
	533,8	2441,9		284942,4
	587,8	1424,6	837379,9	345508,8
	614,9	1095,4	673561,5
	655,1	1278,5	837545,4
	720,1	2091,4
	741,5	2403,5		549822,3
	760,9			578968,8
	814,1	2042,3		662758,8
	859,2	1607,9		738224,6
		1683,2
	953,8			909734,4
	1092,6	3063,9
	1148,9	2048,4
	1247,5	2034,4
	1253,1	2435,9
	1873,5	3082,1
Сумма	18348,9	43906,8

 

Построим корреляционное поле и проведём линию регрессии

 

 

Для нахождения параметров уравнения регрессии используем функцию Excel МОПРЕД, позволяющую рассчитать определитель матрицы

 

Так, определитель системы в целом равен D = =99509416,79, частный определитель Db ₀ = 79005533565, частный определитель Db ₁ = 126165393,5.

 

Уравнение регрессии имеет вид

y = 793,9503 + 1,26 × х + e.