Что такое среды с дисперсией? Физические причины возникновения дисперсии

Система уравнений, описывающая состояние поля и вещества, представляет собой систему уравнений Максвелла, дополняемую уравнением Ньютона (уравнение механики):

Источниками электромагнитного поля есть заряженные частицы и создаваемые ими токи, входящие в уравнения Максвелла через плотности зарядов ρ и плотности токов j. Учитывая, что , где ρ – плотность свободных зарядов, а – скорость движения частиц, а плотность в свою очередь равна en, где n – число частиц в единице объёма вещества, получим, что j = en . Следовательно, уравнение движения из системы (1.1) можно переписать в виде

n∙ F = ρ∙ E +[ j B ]. (1.2)

Во многих случаях обратным влиянием электромагнитного поля (ЭМП) пренебрегают, считая заряды и токи либо внешнее ЭМП заданными. Однако такой подход применяется далеко не всегда и решение задачи нахождения полей сводится к решению системы уравнений электродинамики и механики совместно. Нахождение решения такой системы сопряжено с математическими сложностями, потому сначала решают задачу о движении заряженных частиц в ЭМП, после чего находят выражения для создаваемых ими токов и зарядов [1].

Зная, что плотность поляризационных зарядов ρ = – div P и ток j = , где P – вектор поляризации, положим, что в не слишком сильных полях вектор P ~ E и j ~ E. Точное аналитическое выражение для P выглядит так:

P = . (1.3)

Здесь P = P (E), причем E включает в себя сумму поля внешних источников и поля, возникшего в результате поляризации среды. Формулой (1.3) можно пользоваться, если поле E меняется со временем достаточно медленно либо не меняется вообще.

При быстром изменении ЭМП в результате инерционности движения частиц вектор поляризации P (t) зависит от значения напряженности электрического поля в данный момент времени и в предшествующие моменты времени t₁ £ t, что математически записывается так:

Если положить t – = t, получим:

Так, в переменном ЭМП поляризация диэлектриков под действием внешнего поля происходит не мгновенно, а с некоторым запаздыванием.

Разложим напряженность ЭМП в интеграл Фурье:

Подставив в уравнение (1.4а), получим:

Сравним с формулой для P и найдем, что

есть преобразование Фурье (или преобразование Лапласа) функции α (t). С учетом этого перепишем (*) в виде

Отсюда, сравнивая последние два выражения, получим

Далее вспомним, что выражение для вектора индукции D имеет вид:

Здесь

Диэлектрическую постоянную можно рассматривать как некоторый интегральный оператор, который функции f (t) ставит в соответствие другую функцию j(t) по правилу

в частности, если f (t) , то

Интеграл в скобках уже был введен ранее (см. 1.6). Тогда, зная, что , запишем следующее соотношение

.

Таким образом, в переменном электрическом поле диэлектрическая проницаемость зависит не только от свойств самой среды, но и от частоты. Такое свойство называется дисперсией диэлектрической проницаемости.

Одно из важных свойств функции состоит в ее комплексности, то есть ее можно представить в виде . Про физический смысл мнимой части будет описано далее.

Выясним, какие среды называются диспергирующими. Запишем уравнения Максвелла из макроскопической электродинамики:

Здесь D = и B = . В диспергирующих средах . Положим для простоты, что m=1. Первая пара уравнений не зависит от наличия среды, тогда можно выразить вектора B и E через векторный и скалярный потенциалы следующим образом:

Переходим к фурье-компонентам:

Вторая пара уравнений Максвелла примет вид:

Применим оператор rot к обоим частям уравнения (1.20), выполним преобразования согласно формуле rot(rot A) = graddiv A – Δ A,после чего применим калибровку Лоренца

или в виде преобразования через фурье-компоненты

Применив к обоим частям калибровки операцию градиента и подставив в (1.20), получим следующее выражение:

Множитель, стоящий при , представляет собой не что иное, как квадрат волнового вектора k. Иными словами, мы получили зависимость волнового вектора от частоты

что называется дисперсионным соотношением. Если взять дивергентное уравнение Максвелла (1.19), представить вектор электрической индукции в виде (1.9), после чего подставить поле (1.17), раскрыть скобки и применить калибровку Лоренца (1.21), выразив оттуда , то получим, точно такой же множитель при j. Важно, что и связаны между собой уравнением непрерывности.

Отличие уравнений для диспергирующей среды и вакуума состоит в том, что в последнем волновой вектор не зависит нелинейным образом от диэлектрической проницаемости e, которая в свою очередь зависит от частоты w. В вакууме , в диспергирующей среде квадрат волнового вектора принимает значение подобное уравнению (1.23). Это и есть закон дисперсии для случая, когда решение однородного волнового уравнения

представляется в виде плоских волн.