Умение составлять формулы размерности позволяют, например, переходить от одной системы единиц измерения к другой

Классы

Модуль 1. Измерение физических величин и обработка результатов

 

Учителю:предлагаем Вам примерное планирование изучения данной темы, рассчитанное на 5 занятий. В зависимости от подготовки учащихся Вы можете сами определить временные затраты на каждое занятие, выполнять частично или в полном соответствии с нашими разработками, дополнять своими материалами.

Занятие 1: Физические величины и размерность

ü Физическая величина

ü Эталоны, единицы измерения и размерность

Занятие 2: Измерения и погрешности

ü Способы измерения и погрешности прямых измерений

ü Учет измерительной погрешности прямого измерения и метод интервалов

Занятие 3: Учет случайных погрешностей

ü Способы определения границ случайных погрешностей при многократных измерениях

Занятие 4: Учет погрешности косвенных измерений

ü Оценка границ погрешности методом минимальных и максимальных значений

ü Оценка границ погрешности методом учета относительной погрешности

Занятие 5: Лабораторная работа

Занятие 1. Физические величины и размерность

Физические тела обладают рядом свойств как качественных, так и количественных. У любого тела есть количественные характеристики его свойств. Например: масса, вес, температура, длина, ширина, высота, объем, плотность, площадь и т.д. Количественные характеристики свойств тел по-другому называются физическими величинами.

Для каждой физической величины имеются соответствующие единицы измерения.

Стоит отметить, что измеряться могут характеристики не только свойств тел, но и процессов и явлений. Например, звук характеризуется громкостью, взаимодействие тел – силой, электрический ток – силой тока и т.д.

Физические величины можно измерить при помощи приборов или вычислить.

 

Таблица 1

Характеристика	Физическая величина	Единицы измерения	Прибор (примеры)
Размеры	Длина, ширина, высота	Метр [м]	Линейка, рулетка, измерительная лента, штангенциркуль, микрометр
Площадь	Квадратный метр [м2]	Палетка
Объем	Кубический метр [м3]	Мензурка
Тяжесть	Масса	Килограмм [кг]	Весы
Вес	Ньютон [Н]	Динамометр
разгон	ускорение	Метр в секунду за секунду [м/с2]	Акселерометр
Продолжительность	Время	Секунда [c]	Секундомер, часы, хронометр
Нагретость	Температура	Градус [°C]	Термометр
скорость протекания электрического заряда	сила тока	Ампер [А]	Амперметр
шум, громкость	интенсивность звука	Децибел [дБ]	Шумомер

При желании таблицу можно продолжить.

Единицы измерения физических величин, этовеличины, по определению считающиеся равными единице при измерении других величин такого же рода (1кг, 1м, 1с и т.д.). Эталон единицы измерения – ее физическая реализация. Так эталоном «килограмма» является платино-иридиевый цилиндр массой 1 кг. Эталоном единицы измерения «метр» в системе СИ служит стержень длиной 1м, который до сих пор существует, но уже не используется по прямому назначению. Он находится в Международном бюро мер и весов. Современным эталоном « метра» является длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/ 299 792 458 секунды. А эталон «секунды» равен 9 192 631 770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

В системе единиц для каждой измеряемой физической величины должна быть предусмотрена соответствующая единица измерения. Таким образом, отдельная единица измерения нужна для длины, площади, объема, скорости и т.д., и каждую такую единицу можно определить, выбрав тот или иной эталон. Но система единиц оказывается значительно более удобной, если в ней всего лишь несколько единиц выбраны в качестве основных, а остальные определяются через основные (см. Таблицы 2-3).

Таблица 2.

ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Величина	Единица	Обозначение
Наименование	Размерность	СИ	СГС
Длина	метр	L	м	см
Масса	килограмм	M	кг	г
Время	секунда	T	с	с
Термодинамическая температура	кельвин	Q	К	-
Сила тока	ампер	I	А	-
Сила света	кандела	J	кд	-
Количество вещества	моль	N	моль	-

 

Удобство такой системы единиц (особенно для ученых и инженеров, которые гораздо чаще встречаются с измерениями, чем остальные люди) в том, что математические соотношения между основными и производными единицами системы оказываются более простыми. Такие соотношения носят общий характер и выполняются независимо от того, в каких единицах (метр, фут или аршин) измеряется длина и какие единицы выбраны для других величин.

В принципе, можно представить себе какое угодно большое число разных систем единиц, но широкое распространение получили лишь несколько. В большинстве стран мира пользуются метрической системой.

Наличие различных систем ставит задачу перевода одних единиц в другие. Изменение основных единиц приводит к изменению производных единиц. Например, если основными единицами будут километр и час, то единица скорости окажется километр в час. Очевидно, необходимо найти такое соотношение, которое позволило бы определить, как с изменением каждой основной единицы изменится производная единица интересующей нас величины. Такое соотношение носит название формулы размерности единицы данной величины.

Для написания формулы размерности воспользуемся тремя основными единицами метрических систем СИ и СГС. В этих системах основными единицами являются метр, килограмм, секунда и сантиметр, грамм, секунда соответственно. Обозначим эти единицы как L, M и T, а их размерность, как a, b, с и т.д. относительно единиц длины, массы и времени и т.д. Если единица некоторой величины A обладает размерностью a, b, с, d, e, f, g, то символически это записывают в виде:

[A] = L ^a M^bT^c Θ ^d I ^e J ^f N ^g,

где квадратные скобки, в которые поставлен символ величины А, означают, что речь идет о размерности единицы этой величины, а символы L, M, T и т.д. представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и времени и т.д. без указания конкретного размера единиц.

Пример: Для функциональной зависимости (формулы) плотности вещества ρ = , формула размерности имеет вид: [ρ] = [ m ] [ V ]^-1 = (L³)^-1M¹T⁰ Θ ⁰ I ^0f N ⁰,

или, опуская символы основных единиц, стоящих в нулевой размерности: [ρ] = L^-3M¹,

Считается, что размерность положительна, если величина находится в числителе и отрицательна, если величина находится в знаменателе.

Размерность безразмерных величин равна нулю и в формулах размерности так же не записывается.

Пример: Для функциональной зависимости (формулы) объема шара V = πR³формула размерности имеет вид: [V] = [π] [R]³=L³.

Таблица 3.

 

ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ СИ, ИМЕЮЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ НАИМЕНОВАНИЯ
Величина	Единица	Выражение производной единицы
Наименование	Обозначение	через другие единицы СИ	через основные и дополнительные единицы СИ
Частота	герц	Гц	–	с–1
Сила	ньютон	Н	–	м×кг×с–2
Давление	паскаль	Па	Н/м2	м–1×кг×с–2
Энергия, работа, количество теплоты	джоуль	Дж	Н×м	м2×кг×с–2
Мощность, поток энергии	ватт	Вт	Дж/с	м2×кг×с–3
Электрический заряд	кулон	Кл	А×с	с×А
Электрическое напряжение и потенциал	вольт	В	Вт/А	м2×кг×с–3×А–1
Электрическая емкость	фарада	Ф	Кл/В	м–2×кг–1×с4×А2
Электрическое сопротивление	ом	Ом	В/А	м2×кг×с–3 ×А–2
Электрическая проводимость	сименс	См	А/В	м–2×кг–1×с3×А2
Поток магнитной индукции	вебер	Вб	В×с	м2×кг×с–2×А–1
Магнитная индукция	тесла	Т, Тл	Вб/м2	кг×с–2×А–1
Индуктивность	генри	Г, Гн	Вб/А	м2×кг×с–2×А–2
Световой поток	люмен	лм		кд×ср
Освещенность	люкс	лк		м2×кд×ср
Активность радиоактивного источника	беккерель	Бк	с–1	с–1
Поглощенная доза излучения	грэй	Гр	Дж/кг	м2×с–2

 

Предложите учащимся решить задачи.

Задание 1. Составьте формулы размерности для следующих функциональных зависимостей:

А) Ускорения a =

Решение. Используя формулу скоростиJ= , получим формулу размерности скорости

[J] = [ S ] [ t ]^-1 = L¹T^-1

Тогда формула размерности ускорения примет вид: [ a ] = [ J] [∆ t ]^-1 = L¹ T^-1T^-1= L¹ T^-2

Б) Силы F = ma

Решение. [ F ] = [m] [ a ] = L¹ M¹T^-2

В) Коэффициента жесткости пружины k =

Решение. [ k ] = [F] [ ∆x ] = L¹ M¹T^-2 L^-1 = M¹T^-2

Г) Молярной массы M = m₀N _a =

Решение. [M] = [ m ] [ v ]^-1 = M¹N^-1

 

Умение составлять формулы размерности позволяют, например, переходить от одной системы единиц измерения к другой.

Например, найдем размерность кинетической энергии, определяемой формулой E = .

[E] =[ ] [ m ] [ J ]²=M¹(L¹T^-1)² = M¹L²T^-2 = L² M¹T^-2

 

При переходе от единиц системы СИ к единицам системы СГС формула размерности останется такой же, а единица кинетической энергии увеличится в (100)²×(1000)¹×(1)^-2=10⁷ раз. То есть 1Дж=10⁷эрг.

Задание 2. Используя теорию размерностей, переведите плотность вещества 7800кг/м³, в единицы системы СГС.

Решение. Формула размерности плотности вещества имеет вид:: [ρ] = L^-3M¹.

При переходе от единиц системы СИ к единицам системы СГС формула размерности останется такой же, а единица изменится в (100)^-3×(1000)¹=10^-3 раз, то есть уменьшится в 1000 раз. А значит, 7800кг/м³=7,8г/см³.

 

И наконец, умение работать с формулами размерности позволяет достаточно легко качественно, а порой и количественно (с точностью до констант) определить функциональные зависимости одних физических величин от других.

Задание 3. Согласно распространённой модели «Большого Взрыва» Вселенной время её существования оценивают в 10¹⁰ лет. Оцените размеры пространства Вселенной сейчас.

Подсказка: следует учесть, что согласно современным представлениям скорость распространения материальных процессов не может быть больше скорости света в вакууме.

Решение. Учитывая, что скорость распространения материальных процессов не может быть больше скорости света и расширение Вселенной происходит во всех направлениях с постоянной скоростью, расстояние от центра «Большого взрыва» S = ct,где с - скорость света в вакууме, а t - время расширения Вселенной. Размерность же: [S] = L¹, а объема: [V] = L³.

Тогда, понимая под размерами объем Вселенной, V~(ct)³.

Откуда: V~c³t³~ (3^.10⁸)^3.(3^.10¹⁷)³~7^.10⁷⁷м³

Задание 4. Животным пустыни приходится преодолевать большие расстояния в поисках воды. Как зависит максимальное время, в течение которого может бежать животное, от размеров животного?

Решение. В предположении, что средняя плотность тел животных примерно одинакова, можно считать, что запас воды пропорционален объему тела V. Тогда размерность «запаса» можно считать пропорциональной размерности объема, где [V] = L³. Расход же, то есть скорость испарения, пропорционален площади поверхности тела S.

Учителю: для лучшего понимания ситуации предложите учащимся ответить на вопрос: что быстрее испарится - вода, налитая в стакан или такая же масса воды, разлитая по полу?

Тогда размерность «расхода» можно считать пропорциональной размерности площади поверхности,

где [S] = L². Так как расход = , то время можно выразить как отношение «запаса» к «расходу». Размерность времени будет пропорциональна отношению размерностей объема V и площади S тела.

Тогда [t] ~ ~ L³L^-2 ~ L¹.

Значит, максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорционально L, то есть линейным размерам животного. Заметим, что и максимальное расстояние, которое может пробежать животное, также пропорционально L.

 

Занятие 2. Измерения и погрешности

Учителю: это занятие целесообразно провести в том случае, если его материал не знаком учащимся. В противном случае рекомендуем этот материал только обзорно повторить.

 

Для занятия рекомендуется приготовить:

1) измерительные приборы: линейка ученическая, секундомер (часы с секундной стрелкой), динамометр

2) материалы: калориметрические тела или деревянные бруски, отрезы провода (проволоки) длиной 10-15см, нитяные маятники (небольшие тела на подвесе)