Способы определения границ случайных погрешностей при многократных измерениях

· Оценка погрешности среднеквадратичным отклонением

1. Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение:

2. Далее вычисляем среднее квадратичное отклонение S_х по формуле:

3. Вычисляем случайную погрешность измерений по формуле:

где t_S – коэффициент Стьюдента, который можно определить по таблице 5.

 

Таблица 5.

a =0,9	a =0,95	a =0,99
n	tS	n	tS	n	tS
	6,31		12,7		63,7
	2,92		4,3		9,9
	2,35		3,2		5,8
	2,13		2,8		4,6
	2,02		2,6		4,0
	1,94		2,4		3,7
	1,90		2,4		3,5
	1.86		2,3		3,4
	1,83		2,3		3,3

Коэффициент Стьюдента зависит от доверительной вероятности a и числа проведенных экспериментов n. В строгом научном эксперименте принято добиваться не менее чем 95%-ной достоверности, хотя в ряде случаев (например, в лабораторном эксперименте) оправдан и 90%-ный уровень.

Коэффициенты Стьюдента рассчитаны английским статистиком У.Госсетом, который работал на заводе Гинесса и ему по условиям контракта не разрешено было публиковать результаты своих исследований. Поэтому практически все свои работы Госсет опубликовал под псевдонимом Student (студент).

4. Значение измеряемой величины записывают в таком виде: х = ∆ х

· Оценка погрешности средним арифметическим отклонением

1. Пусть проведено n измерений величины x. Тогда за лучшую оценку истинного значения результата измерений принимается среднее арифметическое значение:

2. Среднее значение абсолютных погрешностей отдельных измерений, то есть отклонений от среднего, взятых по абсолютной величине, находится по формуле:

3. Значение измеряемой величины записывают в таком виде: х = ∆ х

· Оценка погрешности граничными значениями

1. Приближенное значение искомой величины вычисляют как полусумму значений, соответствующих верхней и нижней границам.

2. Находят абсолютную (случайную) погрешность как полуразность значений, соответствующих верхней и нижней границам.

3. Значение измеряемой величины записывают в таком виде: х = ∆ х

При косвенных измерениях абсолютные погрешности вычисляются по специальным формулам.

Задание 1. По результатам эксперимента по определению дальности полета тела, брошенного горизонтально, были получены значения дальности, представленные в таблице:

1. Заполните таблицу до конца и определите абсолютную случайную погрешность тремя способами.

Решение.

а) оценим погрешность граничными значениями.

 

№ опыта	li, см	, см
	36,5
	37,7
	38,4

Приближенное значение искомой величины вычислим как полусумму значений, соответствующих верхней и нижней границам:

 

 

Находим абсолютную (случайную) погрешность как полуразность значений, соответствующих верхней и нижней границам.

 

б) оценим погрешность средним арифметическим отклонением.

Определим среднее арифметическое значение измеренной дальности полета:

 

№ опыта	li, см	, см	, см
	36,5	37,52 см	1,02	1,0404
		0,52	0,2704
	37,7	0,18	0,0324
		0,48	0,2304
	38,4	0,88	0,7744

Среднее значение абсолютных погрешностей отдельных измерений, то есть отклонений от среднего, взятых по абсолютной величине, находится по формуле:

в) оценим погрешность среднеквадратичным отклонением

Определим среднее арифметическое значение измеренной дальности полета:

Далее вычисляем среднее квадратичное отклонение S_l:

Находим случайную погрешность измерений, приняв доверительный интервал лабораторного эксперимента 0,9:

Учителю: обратите внимание учащихся на то, что не зависимо от способа учета погрешностей все полученные значения укладываются в допустимый для лабораторного эксперимента интервал. Так же стоит отметить, что при оценке погрешностей первым способом затрачиваются меньшие усилия, однако интервал погрешности оказывается больше, чем в двух других случаях. Для уменьшения погрешности в третьем способе, необходимо делать больше измерений, в этом случае коэффициент Стьюдента уменьшается (см. таблицу 5).

2. Сравните результаты измерений методом интервалов.

Учителю: при наличии времени предложите учащимся оценить результаты методом интервалов.

Решение. Так как во всех трех случаях случайная погрешность значительно превосходит систематическую (D l _сист.= 1,5 мм), то абсолютная погрешность измерений будет равна случайной погрешности измерений.

3. Запишите результат измерений с учетом погрешности: l=( 37,5 0,6) см.

Занятие 4. Учет погрешности косвенных измерений