Для выполнения заданий создавайте таблицы, подобные приведенной на рисунке.
Ø В ячейках А3:А11 размещаются наименования показателей финансовой операции (наименования показателей могут изменяться в зависимости от постановки задачи);
Ø в ячейках В3:В9 размещаются исходные данные;
Ø в ячейке В7 рассчитывается срок кредита =B6-B5, (если он не задан конкретно);
Ø в ячейках В10:В11 записываются формулы вычисления наращенной суммы и процентных денег (=B9*(1+B4*B7/B8) и =B10-B9, соответственно)
Ø
Примечание:
В ячейках столбцов C и D размещаются исходные данные и результаты решения задачи при различных значениях (вариантах) исходных данных.
Задание 1‑1
1. Ссуда в размере 50000 руб. выдана на полгода по простой ставке 28% годовых. Определить наращенную сумму и сумму начисленных процентов.
Ответ: FV= 57000; I= 7000 (руб.)
Задание 1‑2
2. Ссуда в размере 1 млн. руб. выдана 20.01.06 до 05.10.06 под 18% годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Ответ:
Английская схема – 127232,88 (руб.);
Германская схема – 127500 (руб.);
Французская схема – 129000 (руб.)
Задание 1‑3
3. Кредит в размере 200000 руб. выдается на 3,5 года. Ставка процентов за первый год – 30%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1%. Определить множитель наращения и наращенную сумму.
Ответ: kn = 1.83; FV = 165000
Задание 1‑4
4. Ссуда выдана под 10% годовых сроком: а) на 5 месяцев; б) на 3 месяца. Определить процентную ставку за срок ссуды
Ответ: а) r =0, 0417; б) r = 0,025
Задание 1‑5
5. Определить проценты, множитель наращения и сумму накопленного долга, если ссуда равна 100 тыс. руб., срок долга - 2 месяца, номинальная процентная ставка - 10%.
Ответ: PV = 101667 руб.
Задание 1‑6
6. Вклад в 500 тыс. руб. был размещен в банке 11,06,2006 г. По ставке 80% годовых. При востребовании вклада 20.09.2006 г. вкладчику были начислены проценты в размере 110 тыс. руб. определите, какую практику начисления процентов использовал банк.
Ответ: Использовалась германская практика начисления процентов
Задание 1‑7
7. Банк принимает вклады до востребования по ставке 10% годовых. Определите накопленную сумму и сумму начисленных процентов при английской практике их начисления для вклада 500 тыс. руб., размещенного на срок с 5.01.2006 г. по 25.10.2006 г.
Ответ: FV=540136.99 руб.; I = 40136.99руб.
Задание 1‑8
8. Определить процентную ставку, которую использует банк для вкладов до востребования, если при первоначальной сумме вклада 1000 руб. через 6 месяцев начислено 1084 руб.
Ответ: r = 16,8%
Задание 1‑9
9. Договор предусматривает следующие ставки простых процентов:
за I квартал – 230% годовых,
за 2-ой и третий – 240% годовых,
за четвертый – 200% годовых.
Определить множитель наращения за год.
Ответ: kn =4.55
Задание 1‑10
10. Вкладчик собирается положить в банк 500 тыс. руб., чтобы накопить 700 тыс.руб. Ставка процентов банка составляет 60% годовых. Определите срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму (число дней в году равно 360).
Ответ: t = 240 дней
Задание 1‑11
11. Вкладчик, решивший положить на депозит 250 тыс. руб., хочет накопить через год не менее 400 тыс. руб. Определить ставку процентов, на основании которой он может выбрать подходящий для этой цели банк.
Ответ: r =60%
Сложные проценты
В финансовой практике основная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.
Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:
Ø проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
Ø срок ссуды более года.
Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга.
За первый период начисления
FV1 = PV +I = PV *r = PV*(1+ r);
ØЗа два периода начисления при условии капитализации ранее наращенной суммы
FV2 = FV1 *(1+r)=PV*(1+ r)2
…….
Øза n периодов начисления формула примет вид:
FV = PV • (1 + r) n = PV • kн, (1‑20)
где:
ð FV – наращенная сумма долга;
ð PV – первоначальная сумма долга;
ð r – ставка процентов в периоде начисления;
ð n – количество периодов начисления;
ð kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов[10].
Эта формула (1-20) называется формулой сложных процентов.
Таким образом, накопление капитала по схеме сложных процентов образует возрастающую числовую последовательность PV, FV 1 , FV 2 ,… FVn которая представляет собой геометрическую прогрессию с первым членом – PV.
Геометрический рост по правилу сложных процентов при n > 1 обгоняет арифметическую прогрессию простых процентов. Так, например, трижды заработав на вложенные 10 тыс. руб. проценты (процентные деньги) по 1,5 тыс. руб. в год, вкладчик имеет в конце срока = 10 000 + 3*1 500 = 14,5 тыс. руб., тогда как наращение сложными процентами приносит ему будущую стоимость 15,209 тыс. руб. При удлинении срока вклада эта тенденция усиливается.
Рис. 1‑4 Рост вложенной суммы при начислении простых и сложных процентов по одинаковой ставке r.
Рис. 1‑5 Фрагмент рисунка 1-4
Как видно из рисунка 1-5, при краткосрочных ссудах (менее одного года) начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.
При любом r,
Ø если 0 < n < 1, то (1 + n* r) > (1 + r) n;
Ø если n = 1, то (1 + n* r) = (1 + r) n.
Ø если n > 1, то (1 + n* r) < (1 + r) n;
Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:
Ø более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);
Ø более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;
Ø обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,рубль при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45 рублей!!!
На рис. 1-6 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
Рис. 1‑6 Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов
Примечание
Как мы уже отмечали, различие начисления простых и сложных процентов состоит в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу.
Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.
Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:
(1 + r).
Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:
(1 + r) n.
Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, могут быть легко табулированы (Приложение 2)и использованы при проведении финансовых расчетов. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке r.
Пример 1‑12
Сумма в размере 15 000 рублей дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.
Решение:
Наращенная сумма
FV = PV * (1 + r )* n =15000 *(1 + 0'1)2 =
или
FV = PV * kн = 15000 * 1,21 = 18150 рублей,
где kн [11] = 1,21
Сумма начисленных процентов
I = FV - PV = 18150 - 15000 = 3150 рублей
Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 18150 рублей, из которой 15000 рублей составляет долг, а 3150 рублей– "цена долга".
Пример 1‑13
Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?
Решение
По условиям данной операции известными величинами являются:
Первоначальная сумма вклада PV = 10000,
процентная ставка r = 10%,
срок n = 4 года.
FОпределим будущую величину вклада:
ðна конец первого периода:
FV1 = PV + PV* r = PV*(1 + r) = 10000*(1 + 0,1) = 11000.
ðдля второго периода величина FV будет равна:
FV2 = FV1 + FV1* r = PV*(1 + r) + PV* (1 + r)* r =
PV* (1 + r)2= 10000*(1 + 0,1)2 = 12100.
ðДля последнего периода (n = 4):
FV4 = FV3 + FV3×* r = PV* (1 + r)4= 10000*(1 + 0,1)4 = 14641.
