:
- ;
- ;
- ;
- .
5.1
(, Y) . 5.2.
5.2
yi xi | -1 | |||
0,10 | 0,25 | 0,30 | 0,15 | |
0,10 | 0,05 | 0,00 | 0,05 |
:
) X Y;
) X Y = 2 Y X = 1;
) P(
Y<
X).
) X :
= 1 P1 = 0,10 + 0,25 + 0,30 + 0,15 = 0,8;
X = 2 P2
=
0, 10 + 0,05 + 0,00 + 0,05 = 0,2,
..
X: | xi | ||
pi | 0,8 | 0,2 |
Y: | yj | -1 | |||
pj | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,2 |
) , Y = 2. , pij
, .5.2, , .. p (Y = 2) = 0,2.
Y=2 : | i | ||
pj ( i) | 0,75 | 0,25 |
Y = 1 pij, . 5.2, , .. p (X = 1) = 0,8.
Y=1 : | yj | -1 | |||
pi (yj) | 0,125 | 0,3125 | 0,375 | 0,1875 |
) (Y < ) pij . 5.2, yj <
i.
(Y < ) = 0,10 + 0,25 + 0,10 + 0,05 + 0,00 = 0,5
5.2
R = 1 (. 5.5). :
) (
X, );
) X Y;
) , (
X,
Y) 1/3.
)
(5.18):
, (5.18), , , φ (, ) , 1.
, πR2 = π*12 = π (. 5.6), * = 1, = 1/π. ,
|
|
F (x, y) (5.17):
(5.21)
, 1/π D M (x, y) (.5.7).
(5.21) , ,
x ≤ -1, -∞ < y < ∞ -∞ < < ∞, < - 1 F(
x,
y) = 0,
D , x >1, > 1 F (,) = 1, D 2 + 2 < 1, φ(,) .
) X
Y. (5.19) -1< < 1
,
Y. :
φ1 () . 5.8.
) , .. . (X,Y) R1 = 1/3 (. . 5.5), :
,
, , ..
5.3
5.3 :
) X ;
) X Y;
) .
) φ
y (x) (5.22), , φ2 (y) ≠ 0.
φ
y (x) y = 1/2 . 5.11.
) X Y , φ (x, y) ≠
φ1 (x) φ2 (y) φy (x) ≠ φ1 (x), φ (y) ≠ φ2 (y).
) Mx (Y), , .
, x2 + y2 ≤ 1 (.5.5) . , Y
X ( (Y) = 0), X Y ( () = 0).
Dx (Y):
( :
)
, 1/3 0.
5.4
5.2
Y.
5.2 :
X: | xi | ||
pi | 0,8 | 0,2 |
Y: | yj | -1 | |||
pj | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,2 |
:
,
,
M(
XY) X Y ( . 5.2), M(
|
|
XY)
(XY) :
( y) k | -2 | -1 | ||||
pk | 0,1 | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,15 | 0,05 |
. M(
XY) . 5.2 (
X,
Y) :
,
nm (n , m ):
Kxy :
Kxy = axay = 0,5-1,2*0,5 = -0,1.
ρ :
.. X Y ; , () ().
5.5
5.3 :
) X Y;
) .
) = {) ay=
M(
Y) :
= 0 (, = = 0, , , ).
(5.34) :
.
) = 0, X
Y . , .
5.6
Y = 1- X 3, X
.
y = f (x) = 1- x 3, . ( ):
.
:
5.7
Y = 2-3 sinX, X φ () = cosX [-π/2, π/2].
(5.57)
D(Y) = M(Y2) :
.
5.8
, [0; 1].
Z =
X+
Y, φ1 (x)= 1 0 ≤ ≤ 1
φ2() = 1 0 ≤ ≤1.
(5.49) :
z < 0, 0 ≤ x ≤ 1 z - x < 0; z > 2, 0 ≤ x ≤ 1 z - x > 1, , φ2 (z - x) = 0 φ (z) = 0.
0 ≤ z ≤ 2. φ2 (z - x) , 0 ≤ z -
x ≤ 1 , , z -1 ≤ x ≤ z.
0 ≤ z ≤ 1, .
1 ≤ z ≤ 2, .
, :
(5.60)
(5.60) (. 5.16).
φ(z) : F(
z), , .. φ(z) = F' (z). F (z) SD D ( , 1), = z - (. 5.17).
(. . 5.17), 0 ≤ z ≤1 SD = z2/2 ( z), 1 ≤ z ≤ 2 SD = 1 - (2 - z)2/2 ( , , , (2 z). ,
(5.60) φ(
z) F(z).
5.1. (
|
|
X,
Y) . 5.3.
5.3
yi xi | ||||
-1 | 0,02 | 0,03 | 0,09 | 0,01 |
0,04 | 0,20 | 0,16 | 0,10 | |
0,05 | 0,10 | 0,15 | 0,05 |
:
)
Y;
) X Y = 2 Y = 1;
) P(Y > X).
5.2. (
X,
Y), X , Y . , (30 ) . :
) (,),
) X Y;
) X Y;
) , .
5.3. (
X,
Y) R . 2 45 . :
) (
X,
Y);
) X Y;
) ;
)
Y.
5.4. (
X,
Y):
.
5.145.16 :
) X Y,
) .
5.5. 5.10.
5.6. 5.11.
5.7. 5.12.
5.8. X φ () = 0,5-││. Y =
X2 .
5.9. , , .. N (0,1).
5.10. . , = 1, X = 0;
Y = 1, , Y=0. :
) (
X,
Y) ;
)
Y.
5.11. (
X,
Y) , O(0;0), A(0;1), B(1;1), (1;0). (
X,
Y).
5.12. (
X,
Y) , 1. (
X,
Y) . φ (, ), φ1 (x), φ2 (y), φ
x (y),
φ
y (x). , X Y. ; .
5.13. (
X,
Y)
|
|
:
) ;
) (
X,
Y) , , 2.
, X Y ; φ1 (),
φ2(
y).
5.14. (
X, )
:
) ;
) ;
) ;
) , ,
D(),
D(
Y), ρ.
5.15. (
X,
Y) D , = 1, = 2, = 3, = 5, (
X,
Y):
5.16. (X,
Y):
.
F (x, y).
5.17. X Y. X = 0, . Y (0;1). (X,
Y).
5.18. (X,
Y) :
ax, ay, , , ρ.
5.19. X,
Y ax = 2, ay = -3, = 1, = 4. :
) (X < ax)(Y < ay);
) Y < X -5;
)(│ X │< 1)(│ Y │< 2).
5.20. φ () , . Y, :
) Y = e-
x;
) Y = ln X;
) Y = X 3;
) Y = 1/ X 2;
) Y = .
5.21. (-π/2; π/2). Y = sin X.
5.22.
Y = .
5.23.
.
Y = 1/ X.
5.24.
xi | -1 | |||
pi | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,4 |
Y= 2
5.25. X Y, Y = 2 . X = -1; D(
X) = 4. :
) Y;
)
Y.
5.26. X φ(x) = cosx (0, π/2); φ(x) = 0. Y=
X2.
5.27. X (1;2) . Y = 1 /x
5.28. X (0;1)
Y=
X2.
5.29. = 2. Y=
e-
X.
5.30. X = 0, σ 2 = 5. Y =1 - 2 + 43.
5.31. X
Y. X = 1, = 4. Y (0;2). :
) ( - ),
D( -
Y);
) M(
X2),
M(
Y2).