Основные законы распределения

В главе рассматриваются:

- биноминальный, равномерный, показательный и нормальный законы распределения;

- закон распределения Пуассона;

- геометрическое и гипергеометрическое распределения;

- логарифмически-нормальное распределение.

Типовые задачи

Пример 4.1

В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение

Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой, равна

p=2/(2+3)=0,4.

Случайная величина X – число пар обуви среди четырех, изготовленных первой фабрикой, имеет биномиальный закон распределения с параметрами п = 4, р = 0,4. Ряд распределения X имеет вид:

xi
pi	0,1296	0,3456	0,3456	0,1536	0,0256

 

(Значения р

_i – Р(Х = т), (m = 0,1,2,3,4) вычислены по формуле

(4.1)

Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины X по формулам:

,

Замечание

Нетрудно заметить, что полученное распределение двумодальное (имеющее две моды): Мо(Х) 1=1 и Мо(Х)2=2, так как эти значения имеют наибольшие (и равные между собой) вероятности. Моду Мо(Х) – число целое – можно найти из неравенства:

4*0,4 - 0,6 ≤ Мо(Х) ≤ 4*0,4 + 0,4

или

1 ≤ Мо(Х) ≤ 2, т.е. Мо(Х)₁ = 1и Мо(Х)₂ = 2.

Пример 4.2

По данным примера 4.1 найти математическое ожидание и дисперсию частости (доли) пар обуви, изготовленных первой фабрикой, среди 4 купленных.

Решение

Имеем n = 4, р = 0,4. Найдем математическое ожидание и дисперсию:

,

Пример 4.3

Доказать, что сумма двух независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона с параметрами λ₁и λ₂, также распределена по закону Пуассона с параметром λ = λ₁ + λ₂.

Решение

Пусть случайные величины Х = т и Y =

n имеют законы распределения Пуассона соответственно с параметрами λ₁и λ₂. В силу независимости случайных величин X и Y их сумма Z =

X +

Y принимает значение Z =

s с вероятностью

Полагая, что λ = λ₁ + λ₂, и учитывая, что

,

получим

,

т.е. случайная величина Z =

X +

Y распределена по закону Пуассона с параметромλ = λ₁ + λ₂

Пример 4.4

Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его математическое ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

Решение

Случайная величина X – число проверенных деталей до обнаружения бракованной – имеет геометрическое распределение (4.11) с параметром р =0,1. Поэтому ряд распределения имеет вид

X = m:	xi					…	m	…
pi	0,1	0,09	0,081	0,0729	…	0,9 m *0,1	…

 

По формулам:

,

Пример 4.5

В лотерее «Спортлото 6 из 45» денежные призы получают участники, угадавшие 3, 4, 5 и 6 видов спорта из отобранных случайно 6 видов из 45 (размер приза увеличивается с увеличением числа угаданных видов спорта). Найти закон распределения случайной величины X – числа угаданных видов спорта среди случайно отобранных шести. Какова вероятность получения денежного приза? Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение

Число угаданных видов спорта в лотерее «6 из 45» есть случайная величина, имеющая гипергеометрическое распределение с параметрами п = 6, М = 6, N = 45. Ряд ее распределения, рассчитанный по формуле (4.14), имеет вид:

X:	xi
pi	0,40056	0,42413	0,15147	0,02244	0,00137	0,00003	0,0000001

 

Вероятность получения денежного приза

По формулам

,

Таким образом, среднее число угаданных видов спорта из 6 всего 0,8, а вероятность выигрыша только 0,024.

Пример 4.6

Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать пассажиру придется не больше полминуты. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания поезда.

Решение

Случайная величина X – время ожидания поезда на временном (в минутах) отрезке [0;2] имеет равномерный закон распределения φ (x)=1/2.

Поэтому вероятность того, что пассажиру придется ждать не более полминуты, равна 1/4 от равной единице площади прямоугольника (рис. 4.3), т.е.

 

По формулам

мин, , мин.

Пример 4.7

Доказать, что если промежуток времени Т, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время т, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части Т₁= Т – х промежутка, т.е. закон распределения Т₁ остается таким же, как и всего промежутка Т.

Решение

Пусть функция распределения промежутка Т определяется по формуле (4.22), т.е. F(t) = 1– e^-λ

^t, а функция распределения оставшейся части T₁ = Т– τ при условии, что событие Т > τпроизошло, есть условная вероятность события Т₁<

t относительно события Т > τ, т.е. F₁ (t) = Р

_T>х (T₁ < t).

Так как условная вероятность любого события B относительно события А

P_A (B) = P (AB) / P (A),

то, полагая А = (Т > τ), B = (T₁ < t), получим

(4.25)

Произведение событий (Т > τ) и T₁ = Т– τ < t равносильно событию τ < Т < t + τ, вероятность которого

P(τ < Т < t + τ) = F (t + τ) – F (τ).

Так как P(Т > τ) = 1 – P(Т ≤ τ) = 1 – F (τ), то выражение (4.25) можно представить в виде:

Учитывая (4.22). получим

Пример 4.8

Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина X, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее время ремонта телевизоров составляет 15 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение

По условию математическое ожидание М(х)= 1/λ= 15, откуда параметр λ - 1/15 и по формулам (4.21) и (4.22) плотность вероятности и функция распределения имеют вид:

, , (х ≥ 0).

Искомую вероятность Р (Х ≥ 20) можно было найти по формуле (3.22), интегрируя плотность вероятности, т.е.

,

но проще это сделать, используя функцию распределения:

Осталось найти среднее квадратическое отклонение σ_х = М (Х) = 15 дней.

Пример 4.9

Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величинах X cпараметрами а = 173 и λ ² = 36, найти:

1. а) выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины X;

б) доли костюмов 4-го роста (176 – 182 см) и 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы;

в) квантиль x_0,7и 10%-ную точку случайной величины X.

2. Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины X.

Решение

1. а) По формулам (4.26) и (4.30) запишем

,

б) Доля костюмов 4-го роста (176 – 182 см.) в общем объеме производства определится по формуле (4.32) как вероятность

(рис. 4.13), так как по (4.33)

,

Долю костюмов 3-го роста (170–176 см) можно было определить аналогично по формуле (4.32), но проще это сделать по формуле (4.34), если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = М(Х) =173, т.е. не равенство

170 < X < 176 равносильно неравенству | Х - 173| ≤ 3:

,

(рис. 4.13).

в) Квантиль X_0,7 случайной величины X найдем из уравнения (3.29) с учетом (4.30):

,

откуда

.

По табл. II приложений находим t = 0,524 и

Х_0,7 = 6*t + 173 = 6*0,524 + 173 ≈ 176 (см).

Это означает, что 70% мужчин данной возрастной группы имеют рост до 176 см.

10%-ная точка – это квантиль X_0,9 = 181 см (находится аналогично), т.е. 10% мужчин имеют рост не менее 181 см.

2. Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от a-3σ = 173-3*6 = 155 до a + 3σ = 173 + 3*6 = 191 (см), т.е. 155 ≤ Х ≤ 191 (см).

Задания

4.1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и моду этой случайной величины.

4.2. По данным примера 4.11 найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение доли (частости) выигравших облигаций среди приобретенных. Составить функцию распределения случайной величины, имеющей биномиальный закон распределения с параметрами n и р.

4.3. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени t равна 0,002. Необходимо:

а) составить закон распределения отказавших за время t элементов;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

в) определить вероятность того, что за время t откажет хотя бы один элемент.

4.4. Вероятность поражения цели равна 0,05. Производится стрельба по цели до первого попадания. Необходимо:

а) составить закон распределения числа сделанных выстрелов;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

в) определить вероятность того, что для поражения цели потребуется не менее 5 выстрелов.

4.5. В магазине имеются 20 телевизоров, из них 7 имеют дефекты. Необходимо:

а) составить закон распределения числа телевизоров с дефектами среди выбранных наудачу пяти;

б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;

в) определить вероятность того, что среди выбранных нет телевизоров с дефектами.

4.6. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти:

1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины;

2) вероятность того, что ошибка округления:

а) меньше 0,04;

б) больше 0,05.

4.7. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:

а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;

б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

4.8. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед.

1. Найти вероятность того, что цена акции:

а) не выше 15,3 ден. ед.;

б) не ниже 15,4 ден. ед.;

в) от 14,9 до 15,3 ден. ед.

2. С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

4.9. Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% – выше 90 ден. ед. Найти:

а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги;

б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед.;

в) с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).

4.10. Коробки с конфетами упаковываются автоматически. Их средняя масса равна 540 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределение, а 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых:

а) менее 470 г;

б) от 500 до 550 г;

в) более 550 г;

г) отличается от средней не более, чем на 30 г (по абсолютной величине)?

4.11. Случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а = 25. Вероятность попадания Хв интервал (10; 15) равна 0,09. Чему равна вероятность попадания X в интервал:

а) (35;40);

б) (30;35)?

4.12. Нормально распределенная случайная величина имеет следующую функцию распределения: F (x) = 0,5 + 0,5 Ф (x -1). Из какого интервала (1;2) или (2;6) она примет значение с большей вероятностью?

4.13. Квантиль уровня 0,15 нормально распределенной случайной величины X равен 12, а квантиль уровня 0,6 равен 16. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

4.14. 20%-ная точка нормально распределенной случайной величины равна 50, а 40%-ная точка равна 35. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (25;45).

4.15. Месячный доход семей можно рассматривать как случайную величину, распределенную по логнормальному закону. Полагая, что математическое ожидание этой случайной величины равно 1000 ден. ед., а среднее квадратическое отклонение 800 ден. ед., найти долю семей, имеющих доход:

а) не менее 1000 ден. ед.;

б) менее 500 ден. ед.

4.16. Известно, что нормально распределенная случайная величина принимает значение:

а) меньшее 248 с вероятностью 0,975;

б) большее 279 с вероятностью 0,005.

Найти функцию распределения случайной величины X.

4.17. Случайная величина X распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием. Вероятность попадания этой случайной величины на отрезок от –1 до +1 равна 0,5. Найти выражения плотности вероятности и функции распределения случайной величины X.

4.18. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией σ². Требуется приближенно заменить нормальный закон распределения равномерным законом в интервале (а; р); границы а, р подобрать так, чтобы сохранить неизменными математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

4.19. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а = 0. При каком значении среднего квадратического отклонения о вероятность попадания случайной величины X в интервал (1;2) достигает максимума?

4.20. Время ремонта телевизора распределено по показательному закону с математическим ожиданием, равным 0,5 ч. Некто сдает в ремонт два телевизора, которые одновременно начинают ремонтировать, и ждет, когда будет отремонтирован один из них. После этого с готовым телевизором он уходит. Найти закон распределения времени:

а) потраченного клиентом;

б) которое должен потратить клиент, если он хочет забрать сразу два телевизора.

ГЛАВА