Матрица перехода от одного базиса ЛП к другому

 

Пусть дана система векторов { а ₁, а ₂, …, а _k } линейного пространства L и известны координаты этих векторов в некотором базисе Б:

а ₁= (а ₁₁, а ₂₁, …, а_{п 1}),

а ₂= (а ₁₂, а ₂₂, …, а_{п 2}),

..................

а _k = (а _{1 k}, а _{2 k} , …, а_пk).

Рассмотрим матрицу этой системы векторов, т.е. матрицу, столбцы которой есть координаты векторов системы в заданном базисе:

.

Оказывается, с помощью ранга матрицы системы векторов можно сделать вывод о линейной зависимости или независимости этих векторов. А именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 3

Для того чтобы k векторов п -мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен k.

Как уже отмечалось, координаты вектора зависят от выбранного базиса. Рассмотрим два базиса Б₁:{ а ₁, а ₂, …, а _п } и Б₂:{ } линейного пространства L. Так как векторы и есть векторы одного и того же линейного пространства L, то векторы базиса Б₂ можно разложить по базису Б₁. Пусть эти разложения имеют вид

откуда

Определение 3

Матрица векторов базиса Б₂ в базисе Б₁ называется матрицей перехода от базиса Б₁ к базису Б₂ и обозначается или просто Т.

. (2.2)

Матрица перехода от одного базиса к другому есть невырожденная квадратная матрица.

Рассмотрим произвольный вектор х линейного пространств L. Пусть известны координаты этого вектора в базисе Б₁ и в базисе Б₂:

х , х .

Обозначим соответствующие координатные столбцы и . Тогда имеют место формулы преобразования координат:

= и = × ,

или в матричной форме

Х = ×Х , Х = ×Х .

 

Лекции 17 Евклидово пространство

 

Содержание лекции: Евклидово пространство. Ортонормированный базис. Понятие метрического пространства. Метрическое пространство R ⁿ.

 

Рассмотрим линейное пространство L. Наряду с операциями сложения векторов и умножения вектора на число введем в этом пространстве еще одну операцию – операцию скалярного умножения.

Определение 1

Если каждой паре векторов а, b Î L по некоторому правилу поставить в соответствие действительное число, обозначаемое символом (а, b) и удовлетворяющее условиям

1. (а, b) = (b, а),

2. (а + с, b) = (а, b) + (с, b),

3. (a а, b) = a(а, b)

4. > 0 " а ¹ 0 и = 0 Û а = 0,

то это правило называется скалярным умножением, а число (а, b) называется скалярным произведением вектора а на вектор b.

Число называют скалярным квадратом вектора а и обозначают , т. е. .

Условия 1) – 4) называют свойствами скалярного произведения: первое – свойством симметрии (коммутативности), второе и третье – свойствами линейности, четвертое – положительной определенности, а условие Û называют условием невырожденности скалярного произведения.

Определение 2

Евклидовым пространством называется действительное линейное пространство, на котором введена операция скалярного умножения векторов.

Евклидово пространство обозначают Е.

Свойства 1) – 4) скалярного произведения при этом называют аксиомами евклидова пространства.

Рассмотрим примеры евклидовых пространств.

· Пространства V² и V³ являются евклидовыми пространствами, т.к. на них скалярное произведение, удовлетворяющее всем аксиомам, было определено следующим образом

.

· В линейном пространстве R _п (x) многочленов степени не выше п скалярное умножение векторов и можно ввести по формуле

.

Проверим выполнение свойств скалярного произведения для введенной операции.

1) .

2) Рассмотрим . Пусть , тогда

.

3)

.

4) . Но сумма квадратов любых чисел всегда больше либо равна нулю, причем равна нулю тогда и только тогда, когда все эти числа равны нулю. Следовательно, , если многочлен не равен тождественно нулю (т.е. среди его коэффициентов есть отличные от нуля) и Û когда , что означает .

Таким образом, все свойства скалярного произведения выполняются, значит, равенство определяет скалярное умножение векторов пространства R _п (x), а само это пространство является евклидовым.

· В линейном пространстве R ⁿ скалярное умножение вектора на вектор может быть определено по формуле

.

Покажем, что в любом линейном пространстве может быть определено скалярное умножение, т.е. любое линейное пространство можно сделать евклидовым пространством. Для этого возьмем в пространстве L ⁿ произвольный базис { а ₁, а ₂, …, а _п }. Пусть в этом базисе

а = a₁ а ₁+ a₂ а ₂+ …+ a _п а _п и b = b₁ а ₁ + b₂ а ₂ + …+ b _п а _п.

Положим

(а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a _п b _п. (*)

Проверим выполнение свойств скалярного произведения:

1) (а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a _п b _п = b₁a₁+ b₂a₂+ …+b _п a _п = (b, а),

2) Если ,то

.

Тогда

(а + с, b) =

= (а, b) + (с, b).

3. (l а, b) = (la₁)b₁+ (la₂)b₂+ …+ (la _п)b _п = la₁b₁ + la₂b₂ + …+ la _п b _п =

= l(a₁b₁) + l(a₂b₂) + …+ l(a _п b _п) = l (а, b).

4. " а ¹ 0 и тогда и только тогда, когда все a _i = 0, т.е. а = 0.

Следовательно, равенство (а, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + …+ a _п b _п определяет в L ⁿ скалярное произведение.

Заметим, что рассмотренное равенство (а, b) = a₁b₁+ a₂b₂+ …+ a _п b _п для различных базисов пространства дает различные значения скалярного произведения одних и тех же векторов а и b. Более того, скалярное произведение может быть определено и каким-либо принципиально другим способом. Поэтому будем называть задание скалярного произведения с помощью равенства (*) традиционным.

Определение 3

Нормой вектора а евклидова пространства называется арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата этого вектора.

Норму вектора обозначают || а ||, или [ а ], или | а |. Итак, то определению,

|| а || .

Имеют место следующие свойства нормы:

1. || а || = 0 Û а = 0.

2. ||a а ||= |a|.|| а || "a ÎR.

3. |(а, b)| £ || а ||.|| b || (неравенство Коши - Буняковского).

4. || а + b || £ || а || + || b || (неравенство треугольника).

В евклидовых пространствах V² и V³ с традиционным образом заданным скалярным умножением норма вектора ` а есть его длина

||` а || = |` а |.

В евклидовом пространстве R ⁿ со скалярным умножением норма вектора равна

|| a || = .

Определение 4

Вектор а евклидова пространства называется нормированным (или единичным), если его норма равна единице: || a || = 1.

Если а ¹ 0, то векторы и – единичные векторы. Нахождение для заданного вектора а соответствующего ему единичного вектора (или ) называется нормированием вектора а.

Из неравенства Коши – Буняковского следует, что

, откуда ,

поэтому отношение можно рассматривать как косинус некоторого угла.

Определение 5

Угол j (0£ j <p), для которого cosj = , называется углом между векторами а и b евклидова пространства.

Таким образом, угол между векторами а и b евклидова пространства определяется по формуле

j = = arccos .

Заметим, что введение скалярного умножения в линейном пространстве дает возможность производить в этом пространстве «измерения», подобные тем, которые возможны в пространстве геометрических векторов, а именно измерение «длин» векторов и «углов» между векторами, при этом выбор формы задания скалярного умножения аналогичен выбору «масштаба» для таких измерений. Это позволяет распространить на произвольные линейные пространства методы геометрии, связанные с измерениями, тем самым значительно усилив средства исследования математических объектов, встречающихся в алгебре и анализе.

Определение 6

Векторы а и b евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

= 0.

Заметим, что если хотя бы один из векторов нулевой, то равенство выполняется. Действительно, т.к. нулевой вектор можно представить в виде 0 = 0. а, то (0, b) = (0. а, b) = 0.(а, b) = 0. Следовательно, нулевой вектор ортогонален к любому вектору евклидова пространства.

Определение 7

Система векторов а ₁, а ₂, …, а _т евклидова пространства называется ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т.е.

(а _i, а _j) = 0 " i ¹ j, i, j =1,2,…, m.

Система векторов а ₁, а ₂, …, а _т евклидова пространства называется ортонормированной (или ортонормальной), если она ортогональная и каждый ее вектор – нормированный, т.е.

(а _i, а _j) = , i, j = 1,2, …, m.

Ортогональная система векторов обладает свойствами:

1. Если – ортогональная система ненулевых векторов, то система полученная нормированием каждого из векторов данной системы, также является ортогональной.

2. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Если всякая ортогональная, а значит, и ортонормированная система векторов линейно независима, то может ли такая система образовывать базис заданного пространства? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 3

Во всяком п -мерном евклидовом пространстве () существует ортонормированный базис.

Доказательство

Доказать теорему – значит найти этот базис. Поэтому поступим следующим образом.

Рассмотрим в заданном евклидовом пространстве произвольный базис { а ₁, а ₂, …, а _n }, по нему построим ортогональный базис { g ₁, g ₂, …, g _n }, а затем нормируем векторы этого базиса, т.е. положим . Тогда система векторов { е ₁, е ₂,…, е _n } образует ортонормированный базис.

Итак, пусть Б:{ а ₁, а ₂, …, а _n } – произвольный базис рассматриваемого пространства.

1. Положим

g ₁ = а ₁, g ₂ = а ₂ + g ₁

и подберем коэффициент так, чтобы вектор g ₂ был ортогонален вектору g ₁, т.е. (g ₁, g ₂) = 0. Поскольку

,

то из равенства находим = – .

Тогда вектор g ₂ = а ₂ – g ₁ ортогонален вектору g ₁.

Далее положим

g ₃ = а ₃ + g ₁ + g ₂,

и подберем и так, чтобы вектор g ₃ был ортогонален и g ₂, и g ₃, т.е. (g ₁, g ₃) = 0 и (g ₂, g ₃) = 0. Находим

,

.

Тогда из равенств и находим соответственно и .

Таким образом, вектор g ₃ = а ₃ –` g ₁ – g ₂ ортогонален векторам g ₁ и g ₂.

Аналогично построим вектор

g ₄ = а ₄ –` g ₁ – g ₂ – g ₃.

Нетрудно проверить, что (g ₁, g ₄) = 0, (g ₂, g ₄) = 0, (g ₃, g ₄) = 0.

Действую далее подобным образом, получим

g _п = а _п – g ₁ – g ₂ – … – g _{п –1},

причем этот вектор, в силу взаимной ортогональности векторов g ₁, g ₂, …, g _{п –1}, будет ортогонален каждому из этих векторов.

Таким образом, система векторов { g ₁, g ₂, …, g _п }, где

g ₁ = а ₁,

g _k = а _k – g ₁ – g ₂ – … – g _{k –1}, k = 2, 3, …, n,

образует ортогональную систему векторов, которая, согласно теореме 5.2, линейно независима, и, следовательно, образует ортогональный базис п -мерного евклидова пространства.

2. Положим теперь , , , …, . В силу теорем 5.1 и 5.2, векторы е ₁, е ₂, …, е _n попарно ортогональны и линейно независимы, а значит, образуют ортонормированный базис рассматриваемого пространства.

Таким образом, во всяком евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. ▲

Из доказательства этой теоремы следует алгоритм построения ортонормированного базиса (процесс ортогонализации):

1) Взять произвольный базис заданного евклидова пространства.

2) Найти векторы ортогонального базиса по формулам

g ₁ = а ₁,

g _k = а _k – g ₁ – g ₂ – … – g _{k –1}, k = 2, 3, …, n.

3) Нормировать полученную систему векторов { g ₁, g ₂, …, g _п }, т.е. положить .

4) Записать ортонормированный базис { е ₁, е ₂, …, е _n }.

В дальнейшем ортонормированный базис будем обозначать

Б₀:{ е ₁, е ₂, …, е _n }.

Отметим следующие свойства ортонормированного базиса.

1) В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов пространства равно сумме произведений их соответствующих координат: (а, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + …+ a _п b _п.

2) Если в некотором базисе скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то этот базис – ортонормированный.

Таким образом, всякий базис евклидова пространства будет ортонормированным, если скалярное произведение определено как сумма произведений координат векторов в этом базисе.

3) В ортонормированном базисе норма вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.

|| a || = .

 

Определение 8.

Множество М называется метрическим пространством, если существует правило, по которому любым двум его элементам х и у поставлено в соответствие некоторое действительное число r(х, у) называемое расстоянием между этими элементами, удовлетворяющее условиям:

1. r(х, у) = r(у, х);

2. r(х, у)³0 для любых х и у, причем r(х, у)=0 тогда и только тогда, когда х = у;

3. r(х, у) £ r(х, z) + r(у, z) для любых трех элементов х, у, z ÎМ.

Элементы метрического пространства называются точками.

 

Примером метрического пространства является пространство R ⁿ, в нем расстояние между точками (векторами этого пространства) может быть определено по формуле r(х, у) = || х – у ||.