Лекции 16 Линейные пространства. Базис. Координаты вектора.
Содержание лекции: Определение линейного пространства, примеры. Линейная зависимость, независимость системы векторов линейного пространства. Понятие базиса, теорема о разложении вектора по базису, координаты вектора. Связь между базисами линейного пространства, матрица перехода от базиса к базису.
Определение линейного пространства
Рассмотрим L– непустое множество элементов а, b, с, …. Пусть на этом множестве определены:
1) (внутренняя) операция «сложения» Å, т.е. правило, по которому каждой паре элементов а, b Î L ставится в соответствие элемент с ÎL, называемый суммой элементов а и b и обозначаемый с = а Å b;
2) (внешняя) операция Ä «умножения» на число, т.е. правило, по которому каждому элементу а Î L и любому действительному числу a ставится в соответствие элемент b ÎL, называемый произведением элемента а на число a и обозначаемый b = aÄ а,
и пусть эти операции удовлетворяют свойствам:
1) а Å b = b Å a;
2) а Å(b Å с)= (а Å b)Å с;
3) в L существует нулевой элемент 0 такой, что
" а ÎL выполняется условие а Å 0 = a;
4) " а ÎL существует противоположный элемент (– а)ÎL такой, что а Å (– а) =` 0;
5) 1Ä а = а;
6) aÄ (bÄ а) = (ab)Ä а
7) aÄ(а Å b) = (aÄ а) Å (aÄ b);
8) (a+b)Ä а = aÄ а Å bÄ а.
Определение1
Множество L, на котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие свойствам 1) – 8), называется действительным линейным пространством (или действительным векторным пространством). Элементы линейного пространства называют векторами, а свойства 1) – 8) операций – аксиомами линейного пространства.
Если на множестве L операция умножения на число определена для комплексных чисел, то L называют комплексным линейным пространством. В дальнейшем будем рассматривать в основном только действительные линейные пространства и называть их просто линейными пространствами. Векторы произвольного линейного пространства будем выделять жирным шрифтом: а, b, с, х, у, …. Для геометрических векторов сохраним обозначение 
….
Заметим, что из аксиом 8 и 3 следует: "aÎ R и а Î L выполняется
aÄ = (a+0)Ä а = (aÄ а) Å (0 Ä а), откуда 0Ä а = 0,
т.е. нулевой вектор ЛП может быть представлен в виде произведения любого вектора этого пространства на число 0.
Чтобы выяснить, является ли заданное множество L линейным пространством, нужно:
1) задать операции Å и Ä (или убедиться, что они заданы) так, чтобы результат этих операций был элементом данного множества (в этом случае говорят: L замкнуто относительно этих операций).
2) для этих операций проверить выполнение всех восьми аксиом линейного пространства.
Операции Å и Ä могут быть заданы нетрадиционно, например, на множестве V3свободных векторов геометрического трехмерного пространства операцию сложения можно задать так: а Å b = а ´ b, т.е. «суммой» векторов назвать их векторное произведение, при этом результат операции, очевидно, является элементом множестваV3, а вот выполняются ли аксиомы линейного пространства – это проверьте самостоятельно.
В дальнейшем для краткости операцию Å будем обозначать обычным знаком «+», а операцию Ä – обычным символом умножения «.» или вообще опускать в записи, как это делается в алгебраических выражениях.
Примеры множеств, являющихся линейными пространствами относительно известных для них операций:
- множество действительных чисел R;
- множество комплексных чисел С, векторы пространства С – комплексные числа 
;
- множество С[ a , b ] непрерывных на [ a, b ] функций, векторы пространства С[ a , b ] – функции 
, х Î[ a, b ];
- множество Р п (x) многочленов степени не выше п, векторы пространства Р п (х) – многочлены 
, 
;
- множество 
числовых матриц размерности т ´ п;
- множество М п числовых квадратных матриц порядка п;
- множество свободных геометрических векторов: V1, V2, V3 (соответственно, на прямой, на плоскости, в пространстве), 
, 
, …– векторы этих пространств.
- множество R n упорядоченных числовых строк длины п, векторы пространства – [α1, α2, α3,…, α п ], α i – действительные числа.
