Определение линейного пространства

7) aÄ(а Å b) = (aÄ а) Å (aÄ b);

8) (a+b)Ä а = aÄ а Å bÄ а.

Определение1

Множество L, на котором определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие свойствам 1) – 8), называется действительным линейным пространством (или действительным векторным пространством). Элементы линейного пространства называют векторами, а свойства 1) – 8) операций – аксиомами линейного пространства.

Если на множестве L операция умножения на число определена для комплексных чисел, то L называют комплексным линейным пространством. В дальнейшем будем рассматривать в основном только действительные линейные пространства и называть их просто линейными пространствами. Векторы произвольного линейного пространства будем выделять жирным шрифтом: а, b, с, х, у, …. Для геометрических векторов сохраним обозначение ….

Заметим, что из аксиом 8 и 3 следует: "aÎ R и а Î L выполняется

aÄ = (a+0)Ä а = (aÄ а) Å (0 Ä а), откуда 0Ä а = 0,

т.е. нулевой вектор ЛП может быть представлен в виде произведения любого вектора этого пространства на число 0.

Чтобы выяснить, является ли заданное множество L линейным пространством, нужно:

1) задать операции Å и Ä (или убедиться, что они заданы) так, чтобы результат этих операций был элементом данного множества (в этом случае говорят: L замкнуто относительно этих операций).

2) для этих операций проверить выполнение всех восьми аксиом линейного пространства.

Операции Å и Ä могут быть заданы нетрадиционно, например, на множестве V³свободных векторов геометрического трехмерного пространства операцию сложения можно задать так: а Å b = а ´ b, т.е. «суммой» векторов назвать их векторное произведение, при этом результат операции, очевидно, является элементом множестваV³, а вот выполняются ли аксиомы линейного пространства – это проверьте самостоятельно.

В дальнейшем для краткости операцию Å будем обозначать обычным знаком «+», а операцию Ä – обычным символом умножения «.» или вообще опускать в записи, как это делается в алгебраических выражениях.

Примеры множеств, являющихся линейными пространствами относительно известных для них операций:

- множество действительных чисел R;

- множество комплексных чисел С, векторы пространства С – комплексные числа ;

- множество С_{[ a , b ]} непрерывных на [ a, b ] функций, векторы пространства С_{[ a , b ]} – функции , х Î[ a, b ];

- множество Р _п (x) многочленов степени не выше п, векторы пространства Р _п (х) – многочлены , ;

- множество числовых матриц размерности т ´ п;

- множество М _п числовых квадратных матриц порядка п;

- множество свободных геометрических векторов: V¹, V², V³ (соответственно, на прямой, на плоскости, в пространстве), , , …– векторы этих пространств.

- множество R ⁿ упорядоченных числовых строк длины п, векторы пространства – [α₁, α₂, α₃,…, α _п ], α _i – действительные числа.