Локальная формула Муавра-Лапласа

В рамках схемы Бернулли при большом числе n независимых испытаниях использовать формулу Бернулли нецелесообразно. В этих ситуациях используют локальную формулу Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью () или не наступить с вероятность событие наступит m, приближенно равна:

где

Функция является четной, следовательно, Таблица значений функции для положительных значений аргумента приведена в приложении. Эту формулу называют локальной формулой Муавра-Лапласа или локальной формулой Лапласа.

Пример 1. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа:

В таблице значений функции (Приложение) найдем и подставим в локальную формулу Муавра-Лапласа. Искомая вероятность
Пример 2. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

По условию задачи и Так как значение велико, воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа:

Так как функция является четной, следовательно, В таблице значений функции (Приложение) найдем и подставим. Искомая вероятность

Интегральная формула Муавра-Лапласа

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях (чем больше n, тем точнее), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью () или не наступить с вероятность событие наступит не менее и не более раз, приближенно равна:

где − функция Лапласа.

Функция является нечетной, следовательно, Таблица значений функции для положительных значений аргумента приведена в приложении.

Эту формулу называют интегральной формулой Муавра-Лапласа или интегральной формулой Лапласа.

Пример 1. Найти вероятность того, что событие наступит не менее 75 и не более 90 раз в 100 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,8.

По условию задачи , и Так как значение велико, воспользуемся интегральной формулой Муавра-Лапласса:

Учитывая нечетность функции т. е. найдем в таблице значений (Приложение) и подставим. В результате получим:

Формула Пуассона

Теорема Пуассона. При неограниченном увеличении числа n независимых испытаниях (), в каждом из которых может наступить некоторое событие с одной и той же вероятностью , стремящейся к нулю (), при этом , вероятность того, что событие наступит m, приближенно равна:

Формулу называют формулой Пуассона. Эта приближенная формула дает незначительные погрешности, если Значения функции Пуассона находят в таблице, приведенной в Приложении, на пересечении соответствующих значений и

Пример 1. Известно, что на 10000 выпущенных деталей приходится 10 бракованных. Какова вероятность того, что четыре случайно выбранные детали окажутся бракованными?

По условию задачи Вероятность случайного выбора бракованной детали Так как значение велико, а − мало и , воспользуемся формулой Пуассона и найдем значение функции Пуассона из таблицы для значений и

Случайные величины