Непериодическая функция не может быть представлена в ряде Фурье, однако она допускает анализ-Фурье с использованием интеграла Фурье. Также непериодическая функция допускает разложение по Фурье – т. е. с представлением в виде с синусоидальным преобразованием; но это разложение проводиться в виде интеграла.
Для одномерной непериодической функции интеграл Фурье будет иметь следующий вид:
; причем выражение 
может быть записано в виде функции 
; т. е.: 
. И тогда наше выражениеи можно записать как 
.
Для четной функции мы можем представить выражение более просто:
Или в упрощенной форме:
Фурье-преобразование для непериодической функции уже не имеет дискретного спектра. Этот спектр уже имеет сплошную функцию типа:
Функция также представляется суммой синусоидальных составляющих, бесконечно близких по частоте и их спектральная плотность амплитуд – это амплитуда, отнесенная к единице полосы пространственных частот.
Рассмотрим пример преобразования непериодической функции. В качестве преобразования Фурье возьмем П-образный сигнал.
Отсюда берем интеграл:
Вид этой функции будет иметь вид:
Эта функция будет иметь название SINC.
Для дельта-функции спектр будет равен единице при любой частоте.
Функция передачи модуляции системы.
Возьмем объект, имеющий синусоидальное распределение интенсивности; то есть, синусоиду (в случае, когда как на картинке – косинусоида):
Модуляция 
- это отношение:
Или по такой формуле:
Подставляя это все в формулу модуляции, получаем:
Отсюда имеем:
А теперь рассмотрим нашу решетку в системе светорассеяния; то есть в системе функции размытия линии.
Возьмем интеграл свертки: 
И подставляем в него выражение .
Получаем: 
.
А используя выражение 
, получаем:
.
Принимаем интеграл функции размытия линии за единицу и получаем:
Отсюда 
Исходя из геометрии:
имеем:
или 
отсюда выражение 
переходит в
.
Было
Стало 
.
1.Функция осталась синусоидальной; осталась постоянная и та же частота. Изменилось амплитуда решетки, и появился угол 
, который называется углом фазового сдвига.
Итак, у нас изменяется амплитуда и появляется угол фазового сдвига . Поэтому у функции 
, представляющей собой синусоидальную решетку уменьшается амплитуда и появляется сдвиг; но только в том случае, если 
.
Совокупность характеристик 
и 
называются частотной характеристикой системы, т. е. характеристикой системы по ее размытию, выраженной в частотном пространстве. При этом – это Фурье-преобразование функции размытия линии. Если функция размытия является симметричной – у нее отсутствует фазовый сдвиг; то она называется амплитудной частотной характеристикой.
Фазово-частотная характеристика – это зависимость угла сдвига фазы называется от пространственной частоты.
Если увеличивается пространственная частота, то амплитудно-частотная характеристика уменьшается, а фазовая частотная характеристика – наоборот – возрастает.
Если система имеет симметричную зону размытия, то есть, четная функция, то фазово-частотная характеристика отсутствует, а остается амплитудно-частотная модуляция.
Функция передачи модуляции характеризует систему с точки зрения размытия узких пучков и является эквивалентной функции размытия линии или краевой функции; прямо с ними связана путем Фурье-преобразования. Т. е. ФПМ есть косинус Фурье-преобразование функции размытия линии. Отличие только в том, что
Переведена в частотное пространство.
Сама функция передачи модуляции – это зависимость передачи коэффициента передачи модуляции от пространственной частоты.
Т. е. 
Функция передачи модуляции является фильтром пространственных частот, так как низкие частоты она пропускает, а высокие частоты – нет.
При низкой пространственной частоте амплитуда сигнала существенно не изменяется, но при ее увеличении амплитуда уменьшается, приближаясь к нулю(равномерное распределение освещенности), то есть, решетка исчезает.
Неудобство ФРТ и ФРЛ состоит в том, что их трудно измерить. Другое неудобство состоит в том, что нужно каждый раз решать интеграл свертки.
Краевая функция (knife age)
Функцию передачи модуляции можно оценивать путем отношения амплитуды сигнала на выходе к амплитуде сигнала на входе или амплитуды изображения к амплитуде объекта:
Для измерения этой функции передачи модуляции нужно взять несколько решеток с разной пространственной частотой. И по ним находим дискретные точки.
Можно сделать так: берем все амплитуды, при чем 
самой широкой амплитуды приравниваем к единице; а остальные подгоняем под нее.
Все эти измерения ФПМ можно перевести в одномерную форму. А именно – методом сканирования наше пространственное изображение мы переводим в серию электрических сигналов; а затем, измеряя эти сигналы на вольтметре, получая пиковые значения амплитуд, считаем их.
Радиальная мира (несинусоидальная).
Преимущества использования функции передачи модуляции.
- Может разлагаться в ряд Фурье.
- При перемещении от периферии к центру будет меняться пространственная частота.
- Если система у нас состоит из нескольких звеньев и все эти звенья линейные, то ФПМ можно найти простым перемножением отдельных звеньев ФПМ.
Например, если у нас имеется фотоаппарат и мы знаем 
объектива и пленки; то систему мы получим:
А именно: 
. Затем: 
Или так:
