Собственные значения и собственные векторы

Пусть задано линейно преобразование вида

_{, (1)}

 

которое вполне определяется матрицей коэффициентов

()

.

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

Вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А, если найдется такое число λ, что выполняется условие .

Это число λ называют собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору .

Каждое собственное значение матрицы А является корнем ее характеристического уравнения

. (2)

Координаты собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям, находят из системы уравнений

. (3)

 

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

.

Раскроем определитель по правилу треугольника

В результате преобразований последнее выражение примет вид:

.

Разложим левую часть уравнения на множители

,

,

.

Решением уравнения будут значения , , которые являются собственными значениями матрицы А.

Для отыскания координат собственных векторов составим систему уравнений

Найдем собственные векторы, соответствующие значению .

При получим систему уравнений

,

или

.

Легко видеть, что ранг матрицы системы равен 1, и система эквивалентна одному уравнению:

,

откуда

.

Если принять , а , то значение будет равно , где и - произвольные действительные числа.

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством

.

Найдем собственные векторы, соответствующие .

При получим систему уравнений

или

.

Запишем матрицу этой системы уравнений

.

Так как определитель этой матрицы равен 0, а минор второго порядка

,

то ранг матрицы равен двум, и первые два уравнения системы линейно независимы. Оставим в системе только независимые уравнения, члены с перенесем в правые части уравнений:

.

Пусть , где - любое действительное число. Тогда система уравнений примет вид:

.

Решим эту систему методом Гаусса

~ ,

,

, .

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством

или

.

Ответ. При собственном значении собственные векторы равны . При собственном значении собственные векторы равны .

Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные векторы матрицы и соответствующие им собственные значения:

1. .
2. .
3. .

Ответы: 1) , , , ,

2) , , , 3) , ,

- любой вектор, удовлетворяющий условию .

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия и определения

1.2.Методы решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

Матричный метод

Метод Гаусса

1.3.Задачи для самостоятельного решения

1.4 Вопросы для подготовки к экзамену

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА