Действия над комплексными числами

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число, вычисленное по формуле

. (6)

Пример 2. Найти сумму и разность комплексных чисел и .

Решение. Чтобы найти сумму комплексных чисел, необходимо сложить соответственно их действительные и мнимые части:

Вычитание комплексных чисел выполняется аналогично сложению:

Ответ. , .

Произведением комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством

. (7)

То есть, чтобы найти произведение комплексных чисел, необходимо умножить их по правилу умножения двучленов, помня что i ² = -1.

Проиллюстрируем умножение комплексных чисел на следующем примере:

Следует отметить, что произведение комплексного числа z на сопряженное число равно действительному числу

. (8)

При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются

. (9)

Возведение комплексных чисел в степеньn выполняют по формуле Муавра

. (10)

Пример 3. Вычислить .

Решение. Обозначим выражение, стоящее в основании степени, через z ₁

Найдем модуль и аргумент числа z ₁:

, .

Вычислим значение по формуле (10):

Ответ. .

Правило деления. Чтобы разделить число z ₁ на число z ₂ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное от деления чисел и .

Решение.

Ответ. .

Извлечение корней n-ой степени из комплексных чисел определяется как действие, обратное возведению в степень.

Корнемn-ой степени из комплексного числа z называется комплексное число , удовлетворяющее равенству , т. е. .

, где . (11)

Замечание. Рассмотренная задача извлечения корня n -ой степени из комплексного числа равносильна решению уравнения вида , где, очевидно, . Для решения уравнения нужно найти n значений , а для этого необходимо найти модуль и аргумент комплексного числа и использовать формулу извлечения корня.