Эту систему можно записать в матричном виде с помощью матричного уравнения

AX = B, (5)

где А - основная матрица системы, Х - матрица-столбец неизвестных,

В - матрица-столбец свободных членов

, , .

Решением матричного уравнения будет матрица Х, которую находят путем умножения обратной матрицы А ^-1 на матрицу В – столбец свободных членов

Х = А ^-1 В. (6)

 

Пример 2. Решить матричным методом систему уравнений

.

Решение. Составим основную матрицу системы А, матрицу – столбец свободных членов В, матрицу – столбец неизвестных Х

, , .

Найдем обратную матрицу А ^-1. Для этого вычислим определитель матрицы системы

.

Определитель отличен от нуля, следовательно, систему уравнений можно решать матричным способом.

Далее найдем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы по формуле

,

где М_ij – это определитель, полученный из определителя матрицы системы, путем вычеркивания строки с номером i, столбика с номером j.

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Обратную матрицу вычислим по формуле

.

Получим обратную матрицу .

Далее воспользуемся формулой (6) для определения неизвестных x, y, z.

=

= , то есть, получено решение системы:

x = 2, y = 0, z = -1.

Правильность полученного результата устанавливаем с помощью проверки, подставляя найденные значения переменных х, y, z

в каждое уравнение системы

.

Ответ. (2, 0, 1).

 

Метод Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является методГаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему (1)

.

Процесс решения такой системы методом Гаусса состоит из трех этапов.

На первом этапе с помощью элементарных преобразований получают систему уравнений, эквивалентную системе (1). Другими словами систему (1) сводят к ступенчатому виду

(7)

где - коэффициенты при неизвестных и свободные члены, полученные в результате элементарных преобразований.

На втором этапе исследуют систему линейных алгебраических уравнений, то есть определяют количество ее решений по теореме

Кронекера - Капелли.

Теорема 1. Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы

.

Правила практического поиска всех решений совместной системы линейных уравнений вытекают из следующих теорем.

Теорема 2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение

.

Теорема 3. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений

.

На третьем этапе последовательно находят все решения, начиная поиск неизвестных членов х_i c последнего уравнения эквивалентной системы (7).

Пример 3. Решить систему методом Гаусса:

.

Решение. Переход к эквивалентной системе проведем с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы заданной системы уравнений (получим нули под главной диагональю):

~ ~ ~ ~ .