Вдумаемся в первоначала этих, казалось бы, совершенно разных моделей логики, и мы, как в наших слагаемых, в конечном счете обнаружим общее между ними: каждое из них в каком-то свернутом до предела виде уже заранее, a priori, содержит в себе если и не весь корпус нашего знания, то по меньшей мере самое существенное из него. Но если у Декарта это положение существует имплицитно, т.е. прослеживается в неявной завуалированной форме, то и у великих основоположников немецкой философии, и у их гениального последователя Маркса возможность исходной посылки вобрать в себя все множество вытекающих из нее следствий станет открытым основополагающим принципом. Не случайно предшествие подобным представлениям будут находить в утверждении средневекового мыслителя Августина Блаженного (354—430), великого христианского теолога и церковного деятеля, который утверждал, что заглядывая в собственную душу, мы в самих себе обнаруживаем Бога: «И сами мы в себе узнаем образ Бога, т. е. высочайшей Троицы, — образ, правда, неравный, даже весьма отличный, не совечный и, чтобы кратко выразить все, не той же сущности, что Бог, хотя в вещах, Им созданных, наиболее по природе своей к Богу приближающийся, — образ, требующий пока усовершенствования, чтобы быть ближайшим к Богу и по подобию».[27] Ну а связать Всевышнего с тем, что порождается Его словом и наблюдается нами, не так уж трудно. Не случайно гегелевское «Ничто» станет философским аналогом мысли самого Создателя, которая развертывается еще до сотворения мира, т.е. иносказанием того грандиозного Плана, который предшествует всему окружающему нас.
Обратим внимание на эти философские конструкции: нам еще придется обращаться к ним для того, чтобы понять, наконец, почему возможно само сложение и почему его результат равен (равен?) четырем.
Может показаться, что здесь перед нами род фокуса, когда из шляпы иллюзиониста одно за одним вынимается реквизит, который перед этим старательно прятался в нее. Однако обвинять в логическом шарлатанстве мыслителей, оставивших заметный след в истории всей нашей культуры, сегодня уже никому не приходит в голову, ибо великие открытия XIX—XX столетий убедительно продемонстрировали, что сама действительность развивается именно по такой схеме. Примеров много, обратимся к самым значимым.
Так, успехи генетики (структура ДНК, механизм матричного синтеза) показали, что одна единственная молекула порождает все определения организма. И ничего… оставаясь убежденными материалистами, сегодня мы вполне миримся с этим парадоксальным фактом. Даже перестали видеть в субстрате наследственной информации какие-то мистические начала. Между тем следует напомнить, что долгое время в нем виделось что-то «не от мира сего», и не случайно в СССР долгое время «вейсманизм-менделизм-морганизм» (тогдашний синоним генетики) был откровенно ругательным словосочетанием. Достойно упоминания определение, которое давалось в советских словарях и энциклопедиях: «Вейсманистская генетика — плод метафизики и идеализма; она, вопреки науке, различает в организме сому (собственно тело) и некое автономное «наследственное вещество», якобы независимое в своих свойствах от условий развития организма; она ориентирует с.-х. практику на пассивное ожидание «счастливых случайностей» в изменении наследственности организмов».[28]
Так, в 1929 году американский астроном Эдвин Хаббл, проводивший в обсерватории Маунт Уилсон в Калифорнии исследования небесной сферы, сделал одно из величайших открытий в истории астрономии, которое произвело в умах эффект разорвавшейся бомбы. Речь идет об открытии «красного смещения», свидетельствующего о расширении Вселенной. Ведь если повернуть время вспять, то становится очевидным, что вся она «начинается» в единственной точке. Расчеты показали, что сжатое в точку, до состояния космологической сингулярности, т.е до такой степени, когда плотность и температура достигают бесконечных значений, вещество Вселенной обязано взорваться. Именно осколки этого взрыва и порождают весь наблюдаемый нами Космос.
Сегодня вновь со всей страстью говорят о том, что ничто в нашей действительности не могло бы появиться, не предшествуй этому некий единый План, предварительное знание о будущем устройстве и микро- и макромира. И сложно устроенный организм, и тонко сбалансированные условия Большого взрыва («Если бы через секунду после большого взрыва скорость расширения оказалась хоть на одну сто тысяча миллион миллионную (1/100.000.000.000.000.000) меньше, то произошло бы повторное сжатие Вселенной и она никогда бы не достигла своего современного состояния»)[29] свидетельствуют в его пользу. Чем глубже мы проникаем в сокровенные измерения материи, тем явственней становится осознание того, что наблюдаемая гармония природы не складывается сама по себе, случайно.
Правда, здесь мы решаем частный вопрос: что объединяет «два одного» и «два другого», и потому не станем вмешиваться в глобальные споры сторонников эволюции и креационистов (от лат. creatio — создание, сотворение). И все же нельзя не отметить: получение строгого ответа на этот вопрос диктует необходимость и погружения в бездны непознанного, и восхождения на все более высокий, в конечном счете едва ли не на предельный уровень абстрагирующей способности сознания. Впрочем, пока мы только в самом начале пути и многое еще предстоит. Поэтому ограничимся констатацией того, что естественное развитие человеческой мысли обнажает совершенно парадоксальную (для тех, кто никогда не задумывался над подобными вещами) и уже от этого непреложную максиму: любая, даже самая простенькая, частная проблема может найти свое решение только в более широком контексте. В логическом же пределе никакое мышление вообще невозможно там, где нет заранее сформировавшейся системы общих знаний о мире.
Кстати, это со всей отчетливостью демонстрирует уже первая аксиоматическая система. Зададимся вопросом: что чему предшествует, аксиомы интуитивному представлению о трехмерном пространстве, или его нерасчлененный образ — обоим спискам аксиом, и не найдем никакого вразумительного ответа, кроме того, что ни то, ни другое решительно непредставимы друг без друга. В точности так же, как непредставимы друг без друга яйцо и курица. В самом деле, можно ли вслед за греческим геометром вообразить, что «из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию» и что «ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой» и т.д., если нет представления о некоем общем бесконечном «вместилище», каким, собственно, и предстает в нашем внутреннем созерцании все мировое пространство.
Именно здесь лежит объяснение не только неожиданным утверждениям Канта о «чистой математике», откровения которой получаются до всякого опыта, но и о неких всеобщих логических категориях, которые уже были приведены нами выше и через строй которых обязан проходить любой предмет познания. Как показывает его анализ, заранее, a priori человеческое сознание располагает не только скрытым представлением о трехмерном пространстве и луче времени, но и жесткими схемами рассудка, какими предстает его уже приводившийся здесь список категорий. Другими словами, каждый из нас мыслит в строгом соответствии с интуитивным представлением о единстве, множестве и целостности; о реальности, отрицании и ограничении; о присущности, самостоятельном существовании и причинно-следственном взаимодействии; наконец, о возможности и невозможности, существовании и несуществовании, необходимости и случайности.
Так что без сопутствующих любому мыслительному процессу неразвернутых общих представлений об окружающей действительности нет и не может быть вообще никакой мысли.
§ 6. «Глокая куздра» как основание культуры
Не будем удивляться диковинности заголовков. Если угодно, их необычность — это тоже форма приглашения к анализу, к раскрытию единства и взаимосвязи явлений, поиску оснований «сложения» на первый взгляд совершенно несопоставимых начал.
Но продолжим. Как формируются интуитивные представления, эти абстрактные логические схемы? Ведь ясно, что они не могут содержаться в генетической структуре человека, а следовательно, остается заключить, что в них представлен интегрированный опыт целой череды поколений, давно порвавших с животным прошлым. Именно это копимое веками достояние всего человеческого рода, каким-то образом должно «пересаживаться» в маленькую молекулу интеллектуальной вселенной — голову отдельно взятого индивида. Уже для Канта стала бесспорной мысль, которую на новом уровне воспроизведет Выготский (1.4), что внутренний опыт возможен только при допущении внешнего,[30] а внешний опыт — это не что иное, как интериоризированный опыт всего социума, и с ним трудно не согласиться.
Слишком огромная несопоставимость величин не может не порождать вопрос: как интеллектуальные достижения всего общества становятся достоянием индивидуального духа? Попробуем разобраться, для чего оставим на время психологию, логику, математику, и обратимся к куда более фундаментальному явлению — родной речи.
Во всех словарях русского языка советской эпохи, изданных на протяжении 70 лет (включая четырехтомный Словарь Д. Ушакова 1940 г. и 17-томный академический 1948-1965 гг.), в общей сложности приводятся около 125 тысяч слов.[31] Считается, что этого недостаточно для развитого языка с богатыми литературными традициями. Для сравнения: в Словаре В. Даля насчитывается порядка 220 тыс. слов. В современном английском — более 750 тысяч слов: в третьем издании Вебстеровского (1961) — 450 тыс., в полном Оксфордском (1992) — 500 тыс., причем более половины слов в этих словарях не совпадают. В современном немецком языке, по разным подсчетам, от 185 до 300 тысяч слов.[32]
В то же время словарь морфем, т.е. наименьших неделимых значащих частей слов, насчитывает и того меньше: около 4400 корней, 70 префиксов и 500 суффиксов.[33] А значит, большая часть тяжести отображения богатства содержания, сложности устройства, многообразия форм окружающей нас действительности и внутреннего мира человека должна ложиться именно на эти атомы речи. И надо сказать, что, несмотря на свою немногочисленность, они великолепно справляются с нагрузкой.
Вспомним знаменитую фразу, которую придумал русский лингвист Л.В.Щерба (1880—1944): «Глокая куздра штеко будланула бокра и курдячит бокренка». Щерба представил общественности этот пример в конце 1920-х годов, на семинаре, который он вел в Ленинградском университете. При этом первоначально она (по свидетельству Ираклия Андронникова)[34] имела несколько иную форму: «Кудматая бокра штеко будланула тукастенького бокреночка».
Казалось бы, предложение не имеет абсолютно никакого смысла: какой может быть смысл там, где ни одно составляющее его слово не имеет значения. В самом деле: все лексические единицы конструировались таким образом, чтобы их нельзя было бы обнаружить ни в одном (не только русском) известном автору словаре. И все же то, о чем говорится здесь, не остается тайной даже для ребенка. Некто/нечто совершил/о некое действие над кем-то одним и совершает другое над кем-то другим — вот что явственно предстает перед нами. Мы отчетливо понимаем, что подлежащее здесь куздра (причем, не какая-то обыкновенная, а глокая), сказуемое — (штеко) будланула и курдячит. При этом первое действие уже завершено, о чем свидетельствует суффикс прошедшего времени, второе — длится. Не вызывает сомнения, что те, кто пострадал и страдает от этих действий,— живые существа, при этом бокренок — детеныш бокра. Это следует из того, что по законам русской грамматики, одушевленные существительные при переходном глаголе употребляются в винительном падеже, совпадающим по форме с родительным (об этом и говорит окончание «а»), а неодушевленные — с именительным. Если бы речь шла о неодушевленном, в предложении стояло бы: «курдячит бокренок», а не «бокренка». Для проверки: «пинает бочонок», но не «бочонка».
Вообще говоря, из этой фразы можно извлекать многое и многое, включая даже такие тонкие детали смысла, как свирепость уже завершенного акта: глагольное окончание «…нула» применяется, как правило, лишь для обозначения сильно акцентированного действия. Но оставим эту увлекательную лингвистическую задачу, чтобы продолжить.
От русского языка здесь только приставки, суффиксы, окончания. Нет даже ни единого корня. Но именно части речи и позволяют составить внятное представление о содержании всей искусственной фразы из несуществующих ни в одном языке слов. Впрочем, приведенная иллюстрация свидетельствует и о куда более фундаментальной их роли. В какой-то мере все это перекликается с Платоном.[35] Ведь это он впервые отделил «мир вещей» от «мира идей», то, что поддается чувственному созерцанию от созерцаемого умом, и перенес «умопостигаемые» предметы в какую-то «занебесную», по его собственному выражению, область. Его мир «идей» стал обозначать некое идеальное, нечувственное и даже сверхчувственное бытие.[36] Сегодня сказали бы «информационное поле», подключение к которому способно открыть нам все тайны посюстороннего мира. Но ведь и в платоновском мире идей, и в информационном поле, и в примере российского лингвиста мы сталкиваемся с чем-то таким, что не поддается никакой чувственной фиксации и вместе с тем формирует всю нашу ментальность. Разница лишь в том, что за первоэлементами речи нет ничего мистического, хотя их тайна все же далека от разгадки. Благодаря прежде всего этим, витающим в условном «занебесье» бесплотным атомам значений, мы впитываем из самого воздуха культуры растворенные в нем богатства человеческих знаний задолго до того, как сами оказываемся в состоянии сделать свой вклад. Без этого ни о каком будущем вкладе нечего и думать,— может быть, отсюда чувство «глубочайшей безнадежнейшей опозоренности» будущей поэтессы. Первичные представления о времени и пространстве, причинно-следственных связях, характере протекающих вокруг нас процессов, физическом, этическом, эмоциональном содержании выполняемых кем-то действий… обо всем этом мы узнаем, усваивая базовый инструментарий родной речи.
Заметим, значительная часть этих первичных представлений формируется в нашем сознании еще до того, как мы приступаем к усвоению элементарных логических отношений между вещами — «пересаживаемый в голову» аналог естественно-природных закономерностей. Уже ребенок уверенно ориентируется в системе предлогов, выражающих пространственные связи, и даже не будучи в состоянии самостоятельно выразить собственную мысль, очень скоро перестает путаться в неотследимом потоке многочисленных «при…»/«от…», «в»/из», «над»/под» и т.д. и т.п. Им отчетливо различаются грамматические формы глаголов, выражающие чередования событий во времени. Задолго же до того, как он становится способным к усвоению физических зависимостей и логических связей, он овладевает и такими (на самом деле невероятно сложными) конструкциями речи, как «будущее в прошедшем» и «прошедшее в будущем». (Немецкий язык знает даже «давно прошедшее время», так называемый плюсквамперфект, основным значением которого является указание на то, что некоторый случай имел место раньше другого в прошлом). Даже такие сложные начала, как роль и место отдельных сущностей, предметов, явлений в структуре окружающей реальности, входят постепенно распахивающийся перед ребенком мир через уменьшительно-ласкательные и прямо противоположные им суффиксы. Он вполне осмысленно различает разницу между «зайчиком», каким он является для своей мамы, и «зайчатиной» для чужих, «воспитательницей» и «воспиталкой… Даже такое удивительно точное имя, как «продлюга», сумевшее вобрать в себя самую суть и весь ужас «продленного дня» в мировосприятии ребенка, принадлежит ему же…
Известно, что начало интенсивного формирования грамматической структуры своих речений приходится на 3 год жизни.Отдельные слова в это время становятся частями предложения, происходит согласование их окончаний. Третий год — это возраст активной фазы интеллектуального развития, в ходе которой маленький человечек пытается самостоятельно воссоздавать то, что уже было усвоено на стадии пассивного восприятия потока чужой речи. Однако и в этом возрасте собственная речь еще не связана с его мышлением. Выготский, анализируя взгляды Пиаже, пишет: «…ребенок мыслит для себя <…> он не имеет никакой нужды осознавать механизм собственного рассуждения <…> в мышлении ребенка господствует логика действия, но нет еще логики мысли.[37]
Следует обратить внимание и на угасающее уже к пяти годам активное словотворчество, так хорошо известное чуть ли не каждому в нашей стране по творчеству Корнея Чуковского и «Слову о словах» Льва Успенского. Оно наглядно демонстрирует, что к этому времени практически весь набор ключевых грамматических конструкций, отражающих фундаментальные связи предметов, событий, явлений, уже прочно усвоен им.
Словом, вступая в возраст, когда активно формируется способность к абстрактному мышлению, человек уже располагает довольно развитым набором базовых его схем. Не исключено, что именно это обстоятельство позволило Канту говорить об их предшествовании всякому опыту, априорности; и, если на минуту забыть о развитии психологии того и настоящего времени, следует согласиться с ним, ибо для собственно рассудочной деятельности они действительно предстают как изначальная данность.
Таким образом, уже освоение речи незаметно вводит человека в мир тех базовых закономерностей, которым подчиняется и мир людей, и сама природа. Все последующие годы обучения и накопления знаний лишь углубляют то, что напечатлевается речью в формирующемся вместе с ней сознании. Поэтому неслучайно исключительная роль словесности предопределила столь же исключительное ее место не в одном образовательном процессе, но и в процессе формировании личности и гражданина.
Еще античная школа поставила искусство владения ею, риторику и грамматику, во главу всего воспитательного и образовательного процесса. Платон как-то сказал про Гомера, что тот воспитал всю Грецию,[38] и в этом нет никакого преувеличения. Прививавшаяся на протяжении целых столетий высочайшая дисциплина речи, культура слова — вот что не в последнюю очередь выделило Элладу из ряда окрестных народов. Кстати, до сих пор емкая, краткая, точная речь носит название лаконической, между тем Лаконика — это второе имя Спарты. Слово поэта позволило Спарте одолеть Мессению,[39] дух обращенного к народам Греции слова позволил ей выстоять в неравной борьбе с могущественнейшей империей древнего мира.
Не будем удивляться этим суждениям: дисциплина слова — это прежде всего дисциплина интегральной реакции социума на его содержание. Поэтому там, где время осмысления знакового посыла обществу сокращается до минимума, само общество становится монолитом, а единство ответного действия начинает проявлять кумулятивный эффект направленного взрыва. Все это, накапливаясь и накапливаясь от поколения к поколению (история знает процессы, развивающиеся на протяжении целых столетий и вместе с тем неотследимые в сиюминутности), не может не дать известные преимущества перед сравнительной разобщенностью тех народов, которые не смогли развить в себе и эту культуру, и эту дисциплину слова. Сравним повинующийся команде единый механизм воинского подразделения с разрозненной митингующей толпой — и мы поймем еще одну, не документированную никакими словарями и энциклопедиям, опцию языка. Перенявший многое от греческой культуры Рим, унаследовал и ее отношение к нему, что не в последнюю очередь предопределило его победы. Сменявшие их тысячелетия демонстрировали все ту же особенность языка: формируемый поколениями монолит единой реакции на ключевые знаки истории не один раз проявлялся в сокрушительных войнах и революциях.
До сих пор словесность образует самое глубокое основание всего европейского менталитета; первое, что приходит на память, когда речь заходит о национальных культурах, — это имена гомеров, шекспиров, гете. Нам еще предстоит убедиться в том, что ничто техническое и прикладное невозможно без особого отношения к языку. Культура родной речи занимала исключительное место и в традиции российского образования, вспомним Пушкина, ставшего нашим «всё». Поэтому сегодня, когда ей навязывается статус факультатива, ставится под угрозу не только качество аттестатов зрелости, но даже сама зрелость.
Мы сказали, что обыденное сознание или, что то же самое, здравый смысл — это просто сознание человека, не обремененного специальными навыками профессиональной интеллектуальной работы. Но нужно дополнить: с течением времени оно все больше и больше обогащается общими завоеваниями человеческой мысли, и многое как от формальной логики, так и от диалектики, так и от всех достижений науки ассимилируется им. Со временем оно становится гораздо строже и организованней, но ведь и уровень рутинных задач, которые встают перед нами, тоже усложняется. Вот наглядный пример: если вчера человеку, для того чтобы поделиться своей мыслью с миром, достаточно было взять в руки перо, то сегодня он стоит перед необходимостью осваивать персональный компьютер и сложные редакторские программы. Мы давно уже усвоили поверхность многих вещей и теперь устремляемся вглубь. Поэтому по-прежнему обыденное сознание остается совершенно недостаточным для того поиска, который требует максимальной мобилизации возможностей нашего разума.
Но, к сожалению, ни диалектика, ни формальная логика сами по себе тоже не дают ключ к решению того, что занимает нас. Обе они отнюдь не всемогущи, и на каждой ступени развития мысли ни одна из них не способна проникать дальше известных пределов, за которыми начинается мрак. Но, как обнаруживается, и под теми — все более и более глубокими слоями сознания, до которых проникает их организующее и дисциплинирующее действие, протекают сложнейшие процессы обработки информации. Поэтому в целом мыслительная работа, если использовать избитый образ, формирует собой что-то вроде огромного айсберга. Меж тем у айсберга только выдающаяся над поверхностью океана вершина способна сверкать на солнце, подводная же часть бесформенна, и даже цвет ее далек от ослепительной парадной белизны. Точно так же и здесь не всегда доступные даже самому внимательному самоанализу подсознательные процессы, в действительности формирующие собой основной массив всех интеллектуальных затрат, не имеют четких и правильных контуров. Но (и здесь мы можем сформулировать еще один вывод) именно методология этой работы является основным залогом многих научных истин. Только умение организовать и направить именно этот в какой-то степени подсознательный интеллектуальный поток является критерием подлинного мастерства.
Простой «кухонный» пример, как кажется, может помочь уяснению того тезиса, который отстаивается здесь. Нальем в большую кастрюлю воды и начнем перемешивать ее, захватывая лишь самую поверхность. Если мы не будем нарушать ритм и траекторию движения, то в скором времени обнаружим, что во вращение вовлекаются все более и более глубокие слои. Вот так и в деятельности нашего разума ничем не нарушаемая, строгая дисциплина мысли способна вовлекать в направляемый нами поток и те глубинные процессы, до которых еще не проникла организующая роль ни формальной логики, ни диалектики. Без такой дисциплины, без «автоматизированных» навыков организации мышления никакое увеличение объема прочитанных книг или собранных фактов никогда и никого не выведет за рамки простого интеллектуального ремесленничества, другими словами, за рамки обыкновенной посредственности. Поэтому подлинная культура и дисциплина мысли в конечном счете проявляется именно в этой способности упорядочивать и направлять течение глубинных процессов мета-логической обработки всех наших представлений. Кстати, благодаря именно такому вовлечению в общий поток организации многое из того, что лежит ниже подконтрольного диалектике уровня, постепенно переходит в ее состав, обогащая и арсенал самого индивида, и общечеловеческую мысль. Иначе говоря, многое из этих подповерхностных процессов со временем входит в состав интегрального метода.
§ 7. «Двуногость» и «плосконогтие», или Пределы количественного анализа
Наконец, самое интересное, что всплывает в ходе поиска оснований сложения разнородных начал.
Как правило, все, что протекает в неограненном строгими формами потоке предвычислений, иными словами, в ходе предварительной обработки каких-то интуитивных общих представлений о мире, обнаруживается нами лишь там, где уровень сложности скрытых от обыденного сознания процессов переходит некий критический рубеж. Но, как уже говорилось, далеко не всегда мы оказываемся на должной духовной высоте и осознаем эту сложность как интеллектуальную задачу, которая требует своего разрешения. Гораздо чаще все списывается на глупость поставленного вопроса, а то и вообще на глупость того, кто его задает.
Мы вправе говорить о всевозрастающей практической значимости задачи сложения казалось бы несопоставимых величин, и чем дальше диверсифицируется совокупная деятельность человека, тем настоятельней становится потребность развития и совершенствования интеллектуальных навыков ее решения. А это значит, что единым действием сложения могут быть объединены даже самые неожиданные вещи. Одно уравнение:
«веревкообразность» + «столбоподобие» + «змеевидность» = слон.
уже было рассмотрено и успешно решено нами. Попробуем решить другие:
«одушевленность» + «двуногость» + «плосконогтие» — «перья» =?
«капитанские погоны» + «спящие фазаны» — «мировой порядок» =?
Какой-то опыт уже подсказывает нам, что за предельной идиотичностью могут скрываться очень важные вещи, однако даже самая пылкая фантазия не в состоянии вообразить, что и здесь может таиться что-то осмысленное. И тем не менее смысл (и очень глубокий) есть. Скажем больше: слишком многое в европейской культуре зиждется именно на правильности или неправильности решения этих уравнений, чтобы ими можно было пренебречь. Слишком многое и в нашем анализе зависит именно от того, каким будет ответ.
Впрочем, продлим интригу. Отметим только, что решение подобных уравнений столь же значимо и для нашей цивилизации и для организации мышления отдельно взятого индивида, сколь умение складывать парно- и непарнокопытных и фортепианные концерты с египетскими пирамидами. Вполне справедливо предположить, что количественному сравнению могут и должны подлежать не только те вещи, качественные отличия между которыми сравнительно невелики, но и те, между которыми пролегает целая пропасть.
Стоит задуматься о том, что такие парадоксальные вопросы имеют полное право не только на существование, но и на получение четкого и однозначно интерпретируемого ответа. Стоит уже хотя бы для того, чтобы обнаружить (а нам еще предстоит убедиться в этом), что все те количественные шкалы, которыми используются в повседневном обиходе, решительно неприменимы там, где качественные отличия между подлежащими сопоставлению вещами, явлениями, процессами оказываются слишком большими.
О чем говорит отсутствие шкал, необходимых для измерения последних? О том, что количественные операции вообще не могут выполняться там, где качественные отличия переходят какой-то критический рубеж?
Здесь есть некая тонкость, которая требует своего осознания. Или мы соглашаемся с тем, что операции количественного сопоставления могут совершаться над любыми вещами вообще, или признаем, что они правомерны только для сравнительно небольшой части общего круга объектов, процессов, явлений, которые в своей сумме и составляют всю окружающую нас действительность. Последнее обстоятельство означает, что сфера количественного анализа должна быть ограничена, что за пределами этого круга не вправе применяться решительно никакие количественные определения. Словом, математика не вправе претендовать на всеобщность, действительный круг «подведомственного» ей сравнительно узок.
Но жизнь показывает, что область ее применимости постоянно и неуклонно расширяется, а значит, до пределов количественного анализа еще очень далеко. Вспомним. Вплоть до начала XVII века математика — это преимущественно наука о числах, скалярных величинах и сравнительно простых геометрических фигурах; она оперирует лишь постоянными величинами. К этому периоду относится возникновение арифметики, геометрии, позднее — алгебры и тригонометрии и некоторых частных приемов математического анализа. Областью их применения являются счет, торговля, землемерные работы, астрономия, отчасти архитектура. В новое время потребности естествознания и техники (развитие мореплавания, астрономии, баллистики, гидравлики и т. д.) порождают идеи движения и изменения. Эти идеи реализуются прежде всего в форме переменных величин и функциональной зависимости между ними. Появляется аналитическая геометрия, дифференциальное и интегральное исчисление. В XVIII веке возникают и развиваются теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия и т. д. В XIX-XX веках математика поднимается на новые ступени абстракции. Обычные величины и числа оказываются лишь частными случаями объектов, изучаемых в современной алгебре; геометрия переходит к исследованию неевклидовых пространств. Развиваются новые дисциплины: теория функций комплексного переменного, теория групп, проективная геометрия, неевклидова геометрия, теория множеств, математическая логика, функциональный анализ и другие. Практическое освоение результатов теоретического исследования требует получения ответа на поставленную задачу в числовой форме. В связи с этим в XIX-XX веках численные методы вырастают в самостоятельную ветвь — вычислительную математику. Стремление упростить и ускорить решение ряда трудоемких вычислительных задач приводит к созданию вычислительных машин. Потребности развития самой математики, «математизация» различных областей науки, проникновение математических методов во многие сферы практической деятельности, быстрый прогресс вычислительной техники влекут за собой появление целого ряда новых дисциплин, как, например, теория игр, теория информации, теория графов, дискретная математика, теория оптимального управления.[40]
