Исследование метода оптимального обнаружения сигнала на фоне флуктуационного шума

Цельработы: исследование помехоустойчивости метода оптимального поэлементного приема сигналов, передаваемых двоичным кодом с пассивной паузой по каналу с аддитивным флуктационным шумом.

Опыт 1. Исследование помехоустойчивости метода оптималь-ного приема сигналов в зависимости от уровня порогового напряжения решающей схемы

1.1 Вероятность ошибки при посимвольном когерентном приеме в стационарных каналах с нормальной аддитивной помехой [1]

В настоящей работе исследуется помехоустойчивость поэлементного приема дискретных сообщений, передаваемых бинарным сигналом с пассивной паузой в канале с постоянными параметрами. Каждый символ кодовой последовательности представляет собой сигнал, длительность которого τ_и. На вход приемного устройства поступает переданный сигнал S (t) вместе с аддитивной помехой n (t):

y (t) = α S (t) + n (t),

где α – модулирующий параметр, который может принимать одно из двух значений: α = 1, если в принятом колебании присутствует сигнал, и α = 0, если сигнал отсутствует.

При поэлементном приеме задача состоит в том, чтобы за время τ_и по принятой реализации y (t) определить оптимальным (в некотором смысле, наилучшим) образом, какое значение имеет параметр α. Наличие помех делает реализацию y (t) случайной и вынуждает подходить к вопросу определения значения параметра α как к статистической задаче.

В данном случае имеем дело с двумя конкурирующими гипотезами:

гипотеза Sn – сигнал есть (α = 1). Апостериорная вероятность такого события является условной вероятностью того, что y (t) состоит из сигнала и шума;

гипотеза n – сигнала нет (α = 0). Апостериорная вероятность этого события – условная вероятность того, что y (t) есть узкополосный стационарный шум.

На основе анализа апостериорных вероятностей приемник должен выдать в качестве решения одну из указанных выше гипотез и отбросить другую. Естественно считать, что решение о наличии или отсутствии сигнала должно приниматься путем сравнения апостериорных вероятностей по определенному правилу. Другими словами, должно приниматься более вероятное решение. Для этого используется неравенство

. (4.1)

Величина Λ характеризует правдоподобность той или иной гипотезы. При Λ > 1 полагается, что гипотеза «» правдоподобнее гипотезы «», поэтому величину Λ называют отношением правдоподобия.

Правило выбора гипотез по критерию максимума апостериорной вероятности называется байесовским правилом или байесовским решением. Оно автоматически обеспечивает минимизацию вероятности ошибки при выборе гипотезы и, следовательно, является наиболее разумным правилом при оценке качества передачи информации по каналу связи.

Известно, что алгоритм работы оптимального приемника сводится к проверке следующего неравенства:

 

, (4.2)

где – мощность шума, приходящаяся на единицу полосы частот.

Правую часть выражения (4.2) можно вычислить до приема и, заменив ее некоторой константой , в дальнейшем работать с ней как с порогом:

 

(4.3)

Тогда

(4.4)

Если интеграл в левой части неравенства (4.4) превысит порог k', то регистрирующее устройство приемника отметит наличие сигнала, в противном случае – его отсутствие. В этом неравенстве известны: интервал времени t_и, в котором производится наблюдение за принятой реализацией; передаваемый сигнал S (t); его форма, амплитуда, частота и фаза; порог k'. Неизвестным членом является лишь реализация y (t), которую может принять приемник. Однако эта неизвестность устраняется вместе с принятием какой-либо конкретной реализации.

Таким образом, структура оптимального приемника, обеспечивающего минимальную ошибку, может быть представлена в виде, изображенном на рис. 4.1.

 

Коррелятор

Решающее устройство

Рисунок 4.1 – Схема оптимального когерентного приемника

Перемножающее и интегрирующее устройства вычисляют взаимную функцию корреляции сигнала S (t) и реализации y (t), принятой приемником, т.е. выполняют функции коррелятора. Таким образом, коррелятор – основной элемент идеального приемника. Оптимальность решения будет определяться правилом выбора порога k'. Заметим, что существуют другие способы практической реализации таких корреляторов. В частности, в качестве коррелятора может быть использован согласованный фильтр.

Структура идеального приемника такова, что он может минимизировать ошибку лишь при приеме сигнала S (t), известного точно, т.е. все параметры этого сигнала (амплитуда, частота и фаза) на приемной стороне должны быть известны. Прием сигнала с точностью до его фазы называют когерентным приемом.

Для определения вероятности полной ошибки воспользуемся известным выражением

где P _пр, P _л.т ¾ вероятности пропуска сигнала и ложной тревоги.

В бинарных каналах можно считать справедливым условие P (1) = P (0) = 0,5. Тогда

. (4.5)

Преобразуем неравенство (4.2) к виду

Обозначим левую и правую части неравенства:

; .

При a = 0

.

Вероятность ложной тревоги

.

При α = 1

.

Вероятность пропуска сигнала

Случайные величины x₁ и x₂ являются результатом линейного преобразования нормального белого шума и, следовательно, имеют гауссовский закон распределения, параметры которого определяются выражениями:

где – энергия сигнала.

Законы распределения величин x₁ и x₂ могут быть записаны следующим образом:

(4.6)

, (4.7)

где – дисперсия случайных величин x₁ и x₂;

– порог идеального приемника.

При получим .

Графики дифференциальных законов распределения x₁ и x₂ представлены на рис. 4.2.

φ(ξ)

Рисунок 4.2 – Дифференциальные законы распределения случайных величин x₁ и x₂.

 

Для рассматриваемого случая когерентного приема двоичных сигналов с пассивной паузой с учетом (4.5) – (4.7) полная вероятность ошибки

. (4.8)

После соответствующих преобразований [1] получим

, (4.9)

где – функция нормированного и центрированного гауссовского распределения (функция Лапласа); – отношение сигнал/шум в канале связи.

Графические зависимости (рис. 4.2) могут служить иллюстрацией изменения помехоустойчивости оптимального приемника в зависимости от выбранного порога k ₀ и энергетического отношения сигнал/шум h ².

Так, при выборе заштрихованная площадь, характеризующая полную вероятность ошибки, будет минимальной. При выборе другого порога (например, k ₀^*) к заштрихованной области добавляется зачерченная область. Хотя при этом уменьшается вероятность пропуска, зато значительно увеличивается P _л.т.

Из (4.9) можно сделать вывод, что помехоустойчивость оптимального приемника зависит лишь от отношения энергии сигнала Q _c к спектральной плотности шума N ₀ и не зависит от формы сигнала S (t).

Исследования показывают, что для сигналов с активной и пассивной паузами при когерентном приеме выражение для полной вероятности ошибки можно записать в универсальном виде

, (4.10)

где g_с — постоянный коэффициент, значение которого зависит от способа модуляции сигналов.

Трудность осуществления описанной процедуры решения (4.4) состоит в том, что для ее реализации необходимо на приемной стороне создать колебания S (t), совпадающие с переданными колебаниями по амплитуде, частоте и длительности посылок (с точностью до фазы). Это сдерживает широкое применение когерентных методов приема.