Основні поняття теорії імовірностей

Подія — це будь-яке явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається.
Подія відбувається внаслідок випробування. Події позначають великими буквами латинського алфавіту .
Випадковою подією називається подія, яка може відбутися чи не відбутися під час здійснення певного випробування. Масовими називають однорідні події, що спостерігаються за певних умов і які можуть бути відтворені необмежену кількість разів.
Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Множина подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок кожного випробування хоч одна із цих подій напевно відбудеться.
Події називаються попарно несумісними в даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.
Вірогідною називається подія, яка внаслідок випробування обов’язково має відбутися, а неможливою — подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.
Імовірність — числова характеристика можливості появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів.
Імовірністю випадкової події називається відношення кількості подій, які сприяють цій події, і кількості всіх рівноможливих несумісних подій, які утворюють повну групу подій під час певного випробування.
Позначення: , де n — загальна кількість рівноможливих і несумісних подій, які утворюють повну групу, m — число елементарних подій, які сприяють події A.
Сумою подій A і B називається подія C, яка полягає у здійсненні під час одиночного випробування або події A, або події B, або обох разом.
Позначення: , або .
Теорема 1. Імовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто .
Наслідки
1. Сума ймовірностей несумісних подій, що утворюють повну групу, дорівнює 1.
2. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1, тобто .
Дві події називаються протилежними, якщо одна, і тільки одна, з них обов’язково здійсниться в даному випробуванні.
Добутком двох подій A і B називається подія С, що полягає у здійсненні під час одиничного випробування і події A, і події B.
Позначення: , або .
Подія А називається незалежною відподії B, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулась чи ні подія B.
Теорема 2. Імовірність добутку двох незалежних подій A і B дорівнює добутку ймовірностей цих подій, тобто .
Теорема 3. Якщо події , ,..., — взаємно незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через імовірність цих подій за формулою
.
Наслідок.
Якщо , то .
Взаємно незалежними називаються такі випробування, у яких імовірність результату кожного з них не залежить від того, які результати має чи матиме решта випробувань.

Формула Бернуллі

Якщо виконується n незалежних випробувань, у кожному з яких подія A відбувається з імовірністю p, то ймовірність того, що подія A настане m разів, визначається за формулою
;
. 

30. Зрізана піраміда
Зрізаною пірамідою називається многогранник, який залишиться, якщо від піраміди відділити площиною, яка паралельна основі, піраміду з тією ж вершиною.
Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її, відтинає подібну піраміду.
Зверніть увагу: щоб правильно зобразити зрізану піраміду, треба починати із зображення вихідної повної піраміди (див. рисунок).

Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники. Бічні грані — трапеції. — висота зрізаної піраміди, — висота бічної грані, — кут нахилу бічного ребра до площини основи (будь-якої), — кут нахилу бічної грані до площини нижньої основи.
Правильна зрізана піраміда — це зрізана піраміда, яку дістали з правильної піраміди.
Її бічні ребра рівні й нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом. Її бічні грані дорівнюють рівнобічній трапеції і нахилені до площини нижньої основи під одним і тим самим кутом. Висоти бічних граней піраміди називаються апофемами.
Бічна поверхня правильної зрізаної піраміди дорівнює добутку півсуми периметрів основ і апофеми.
, де P н і P в — периметри відповідних основ, l — апофема.
На рисунках зображені фігури, які буває дуже корисним розглянути при розв’язуванні задач на зрізану піраміду.
;
.

;


— прямокутна трапеція.
— висота зрізаної піраміди.
— висота бічної грані.

У випадку, коли зрізана піраміда правильна, відрізки OD і є радіусами описаного кола, а OF і — радіусами вписаного кола для нижньої і верхньої основи відповідно.

Об’єм зрізаної піраміди (див. рисунок) дорівнює , де H — висота, — площа нижньої основи, — площа верхньої основи.

Об’єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.