Теорема про триперпендикуляри

Зростаючі й спадні функції

Функція називається зростаючою на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох значень аргументу з цього інтервалу більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.
Функція називається спадною на деякому інтервалі, якщо для будь-яких значень аргументу з цього інтервалу більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції.
Приклади
1) y = x 2.

Функція зростаюча при (див. рисунок).
Функція спадна при .
Функція парна.
2) .
Функція непарна (див. рисунок), спадна при і при .
Зверніть увагу: не можна сказати, що функція спадає на проміжку або на всій області визначення. Дійсно, візьмемо x 1=-4, x 2=2, x 2> x 1. За означенням спадної функції, повинна виконуватись умова . Однак , , тобто .

Екстремуми функції

Точку x 0 називають точкою мінімуму функції , а саме число — мінімумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і для всіх із цього інтервалу.
Точку називають точкою максимуму функції , а саме число — максимумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і для всіх із цього інтервалу.
Загальна назва для точок максимуму і мінімуму — точки екстремуму, а для значень функції в цих точках — екстремуми функції.
У багатьох випадках графік функції можна побудувати за допомогою геометричних перетворень графіка відомої функції, через яку виражається дана. 

17. Диференційована функція F(x), називається первісною для функції f(x), на заданому проміжку, якщо для всіх іксів із цього проміжку виконується рівність: F’(x)=f(x). Сукупність всіх первісних F(x)+c для функції f(x) на даному інтервалі називають неозначеним інтегралом.

18. Криволінійною трапецією – називається фігура обмежена графіком неперервної невідємної функція y=f(x), x Є (a;b), прямими x=a, x=b cта відрізком осі Оx

Скалярний добуток векторів

Скалярним добутком векторів і називається число .
Позначення: .
. Очевидно, що .
Розподільна властивість скалярного добутку: .
Кутом між ненульовими векторами і називається кут BAC. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами і називається кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок. Вважають, що кут між однаково напрямленими векторами дорівнює 0.
Теорема 1. Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їхніх абсолютних величин і косинуса кута між ними: (див. рисунок).

Звідси .

Теорема 2. Два ненульові вектори перпендикулярні тоді й тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює 0.
; ; . 

Призмою називається многогранник, який складається з двох плоских многокутників, які лежать у різних площинах і суміщаються паралельним перенесенням, та всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих многокутників. Діагональним перерізом називається переріз площиною, яка проходить через два бічних ребра, що не належать одній площині. Бічною поверхнею призми називається сума площ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні і площ основ.

Об'єм призми нерівний. Він дорівнює добутку площі основи на висоту. Таким чином об'єм дорівнює:

де S — площа основи, h — висота. Об'єм правильної призми в основі якої є правильний n -кутник дорівнює:

Площа поверхні призми дорівнює , де S — площа основи, h — висота, P — периметр основи.

Площа поверхні правильної призми в основі якої є правильний n -кутник дорівнює:

 

Перпендикуляр і похила

Нехай BA — перпендикуляр, опущений із точки B на пряму a, а С — будь-яка точка прямої a, відмінна від A (див. рисунок). Відрізок BC називається похилою, проведеною з точки B до прямої a. Точка С називається основою похилої. Відрізок AС називається проекцією похилої.

Властивості похилих

Теорема. Коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпендикуляра; рівні похилі мають рівні проекції, а з двох похилих більша та, в якої проекція більша.
На рисунку BD, BC, BP — похилі, AB — перпендикуляр, ; ; .


Перпендикуляр і похила

Перпендикуляром, опущеним із даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини й лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра. Від­станню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного із цієї точки на площину.
На рисунку AB — перпендикуляр; AC — похила; BC — проекція.

Відстанню від прямої до паралельної їй площини називається відстань від будь-якої точки цієї прямої до площини.
Відстанню між паралельними площинами називається відстань від будь-якої точки однієї площини до другої площини.
Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром до пло­щини. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої.
Відрізок, який сполучає основи перпендикуляра й похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією по­хилої.

Теорема про триперпендикуляри

Теорема 1. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна до похилої (див. рисунок). І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

22.

Паралелепіпед

Паралелепіпедом називається призма, в основі якої лежить паралелограм.
Усі грані паралелепіпеда — паралело­грами.
Грані паралелепіпеда, які не мають спільних вершин, називаються протилежними.
Теорема 1. Протилежні грані паралелепіпеда є паралельними й рівними.
Паралелепіпед залишається паралелепіпедом у всіх випадках, коли за його основу вважаємо довільну його грань (див. рисунок).
Теорема 2. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці й точкою перетину діляться навпіл.
Із цього випливає, що точка перетину діагоналей паралелепіпеда є його центром си­метрії.
Зверніть увагу: у прямого паралелепіпеда є чотири діагоналі, які попарно дорівнюють одна одній.
На рисунку ; .
Це випливає з властивостей похилих, оскільки — рівні перпендикуляри до площини основи ABCD.

Якщо дві діагоналі прямого паралелепіпеда виходять із сусідніх вершин, то більша з них та, яка проектується у більшу діагональ основи, тобто таку діагональ паралелограма, яка лежить проти тупого кута. Отже, якщо на наведеному вище рисунку вважати кут ABC тупим, отримаємо , .
Прямий паралелепіпед, у якого основою є прямокутник, називається прямокутним паралелепіпедом (див. рисунок).

Усі грані прямокутного паралелепіпеда — прямокутники, які можна розбити на три пари рівних між собою. Довільну грань прямокутного паралелепіпеда можна вважати його основою. Враховуючи, що при паралельному проектуванні довільний паралелограм може зображуватися довільним паралелограмом, зо­браження прямокутного паралелепіпеда ніяк не відрізняється від зображеня будь-якого прямого паралелепіпеда.
Довжини непаралельних ребер називаються лінійними розмірами (вимірами) прямокутного паралелепіпеда.
Теорема 3. У прямокутному паралелепіпеді всі діагоналі рівні. Квадрат діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів.
Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда є прямими.
Прямокутний паралелепіпед має три пари рівних між собою діагональних перерізів. Кожний із цих перерізів є прямокутником (див. ри­сунки).

Кожна пара перерізів перетинається по прямій, яка проходить через точки перетину діагоналей протилежних граней. Відрізки між цими точками є паралельними й дорівнюють одному з ребер прямокутного паралелепіпеда.
Прямокутним є трикутник, який утворюється діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, діагоналлю бічної грані й стороною основи (див. рисунок). Наприклад, .

Прямокутний паралелепіпед має центр симетрії — це точка перетину його діагоналей.
Він також має три площини симетрії, які проходять через центр симетрії паралельно граням.
Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Площина будь-якого діагонального перерізу куба є його площиною симетрії. Таким чином, куб має дев’ять площин симетрії.
На рисунку розглянемо взаємне розміщення деяких елементів прямого паралелепіпеда:

— кут між діагоналлю бічної грані й площиною основи ( — перпендикуляр, — похила, СD — проекція).
— кут між діагоналлю прямого паралелепіпеда й площиною основи ( — перпендикуляр, — похила, АС — проекція).
— кут нахилу діагоналі до бічної грані (AD — перпендикуляр, — похила, — проекція).
Нехай — прямий паралелепіпед (див. рисунок), де ABCD — ромб. Проведемо його переріз площиною, що проходить через діагональ основи BD і вершину .

У перерізі отримаємо рівнобедрений трикутник .
— лінійний кут двогранного кута між площинами основи й перерізу. за властивістю діагоналей ромба, — перпендикуляр, — похила, СО — проекція. За теоремою про три перпендикуляри: .

 

Піраміда

Пірамідою називається многогранник, який складається з плоского многокутника — основи піраміди, точки, яка не лежить у площині основи — вершини піраміди, і всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.
Висота піраміди — перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.
Піраміда називається n - кутною, якщо її основою є n -кутник. Трикутна піраміда називається також тетраедром. Бічна грань піраміди — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.
На рисунку SO — висота піраміди. Тоді — кут між бічним ребром і площиною основи (SO — перпендикуляр, SА — похила, OА — проекція).

З основи висоти піраміди (точки О) проведемо перпендикуляр на сторону основи (наприклад, АЕ). Основу цього перпендикуляра (точку F) з’єднаємо з вершиною піраміди (точкою S). За теоремою про три перпендикуляри: . (SO — перпендикуляр, SP — похила, OF — проекція, за побудовою.) Отже, — лінійний кут двогранного кута між площиною бічної грані ASE і площиною ­основи.
Для розв’язування задач про піраміду дуже важливо з’ясовувати, де розміщена основа її висоти.
1. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:
• усі бічні ребра піраміди рівні;
• усі бічні ребра нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;
• усі бічні ребра утворюють однакові кути з висотою піраміди;
• усі бічні ребра рівновіддалені від основи висоти, — то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди.
Бічне ребро l, висота H і радіус R описаного навколо основи кола утворюють прямокутний трикутник:

У цьому випадку бічну поверхню можна знайти за формулою , де l — довжина бічного ребра, ,... — плоскі кути при вершині.
2. Якщо виконується хоча б одна з таких умов:
• всі бічні грані нахилені до площини основи під одним і тим самим кутом;
• усі бічні грані мають однакові висоти;
• висоти бічних граней утворюють однакові кути з висотою піраміди;
• бічні грані рівновіддалені від основи ви­соти, — то основа висоти лежить у центрі кола, вписаного в основу піраміди.
На рисунку — прямокутний , — радіус вписаного кола в ABCDEF;

— висота піраміди, SP — висота бічної грані;
— ліній­ний кут двогранного кута між бічною гранню й площиною основи;
О — центр вписаного в основу кола, тобто точка перетину бісектрис ABCDEF.
У цьому випадку .
3. Якщо бічне ребро перпендикулярне до площини основи, то це ребро є висотою піраміди (див. рисунки).

У цьому випадку і — кути нахилу бічних ребер SВ і SС відповідно до площини основи. є лі­нійним кутом двогранного кута між бічними гранями SAC і SBA.
4. Якщо бічна грань перпендикулярна до площини основи (див. рисунок), то ви­сотою піраміди буде висота цієї грані (за теоремою «Якщо пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до прямої їх перетину, то вона пер­пендикулярна до другої пло­щини»).
5. Якщо дві бічні грані перпендикулярні до площини основи, то висотою піраміди є їх загальне бічне ребро.

 

25. Круговим циліндром називається тіло, яке складається з двох кругів, що не лежать в одній площині й суміщаються паралельними перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів (див. рисунок). Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, — твірними циліндра.
Основи циліндра рівні й лежать у па­ралельних площинах.
Твірні циліндра паралельні й рівні.
Бічна поверхня циліндра складається з його твірних. Поверхня — з основі бічної поверхні. Радіус циліндра — це радіус його основи. Висота циліндра — відстань між площинами його основ. Віссю циліндра називається пряма, яка проходить через центри основ. Вісь циліндра паралельна твірним. Циліндр називається прямим, якщо ­його твірні перпендикулярні до площин основ. Прямий циліндр (далі просто «циліндр») можна дістати в результаті обертання прямокутника навколо сторони як осі.
У прямому циліндрі висота дорівнює твірній. Перерізом циліндра площиною, паралельною його осі, є прямокутник. Дві його сторони — твірні циліндра, а дві інші — рівні й паралельні хорди основ. Осьовий переріз — переріз циліндра площиною, яка проходить через його вісь.
Площина, паралельна осі циліндра, перпендикулярна до площин його основ

Об’єм циліндра дорівнює добутку площі його основи та висоти.
;
.

 

Конус

Круговим конусом називається тіло, яке складається з круга — основи конуса, точки, яка не лежить у площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, що сполучають вершину конуса з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину конуса з точками кола основи, називаються твірними конуса.
Конус називається прямим (далі просто «конус»), якщо пряма, що сполучає вершини конуса з центром основи, перпендикулярна до площини основи.
Прямий круговий конус можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання ­прямокутного трикутника навколо його катета як осі.
Висота конуса — перпендикуляр, опущений із його вершини на площину основи.
Віссю прямого кругового конуса називається пряма, яка містить його висоту.
Зверніть увагу на рисунок нижче. Так звані «контурні твірні» SA i SB є дотичними до еліпса, який зображує основу конуса, точки A і B не є кінцями великої осі еліпса. Переріз конуса площиною, яка проходить через його вершину, — рівнобедрений трикутник, у якого бічні сторони є твірними конуса, а основою є хорда основи.

Розглянемо переріз CSD. Він перетинає основу конуса по хорді CD.
Хорду CD видно з центра основи під кутом COD, а з вершини конуса — під кутом CSD.
Сам переріз — рівнобедрений з основою CD, де — твірні конуса. Його ортогональною проекцією на площину основи конуса є рівнобедрений з основою CD і . Відрізок OK є бісектрисою, медіаною, висотою , відстанню від точки O до хорди CD. Відрізок SK є бісектрисою, медіаною, висотою та відстанню від вершини конуса S до хорди CD. є лінійним кутом двогранного кута між площиною перерізу й площиною основи. Отже, , — кути нахилу твірної конуса до його основи.
Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою , де S осн — площа основи, — кут нахилу твірної конуса до його основи. 

Об’єм конуса (див. рисунок) дорівнює одній третині добутку площі його основи та висоти.
.
.

Зрізаний конус

Площина, паралельна площині основи конуса, перетинає конус по кругу, а бічну поверхню — по колу з центром на осі конуса. Така площина відтинає від конуса менший конус. Частина, що залишилась, називається зрізаним конусом (див. рисунок):
;

Зверніть увагу на осьовий переріз зрізаного конуса. Це рівнобічна трапеція, в якої основи — діаметри основ зрізаного конуса, бічні сторони — твірні, висота — висота зрізаного конуса.
Отже, .
S б , де , — формула для обчислення бічної поверхні зрізаного конуса. 

Об’єм зрізаного конуса (див. рисунок):
.


 

Куля

Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які розташовані від даної точки на відстані, що не більша за дану. Ця точка називається центром кулі, а дана відстань — радіусом кулі. Межа кулі називається кулевою поверхнею, або сферою. Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні й проходить через центр кулі, називається діаметром. Куля є тілом обертання, яке утворюється під час обертання півкруга навколо його діаметра як осі. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну пло­щину.
На рисунку у , OA — радіус кулі, — радіус перерізу, — відстань від центра кулі до площини перерізу (d).
.

 

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною. Переріз кулі діаметральною площиною називається великим кругом, а переріз сфери — великим колом, або екватором.
Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії.
Площина, яка проходить через точку А кульової поверхні та є перпендикулярною до радіуса, проведеного в точку А, називається дотичною площиною. Точка А називається точкою дотику.
Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.
Пряма, яка належить дотичній до кулі площині й проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці. Вона має з кулею тільки одну спільну точку. Лінією перетину двох сфер є коло.
Площа сфери радіусом R обчислюється за формулою .
Кульовим сегментом називається частина кулі, яку відтинає від неї січна площина.
На рисунку H — висота кульового сег­мента.
Кульовий сегмент обмежується частиною сфери, площа якої обчислюється за формулою , і кругом, який називається основою сегмента.
Кульовий сектор — це кульовий сегмент і конус, вершина якого в центрі кулі, а основою є основа сегмента.


Об’єм кулі

На рисунку зображено кулю, кульовий сегмент і кульовий сектор.
Об’єм кулі:
, де R — радіус кулі.

Об’єм кульового сегмента:
, де H — висота кульового сегмента,
R — радіус кулі.
Об’єм кульового сектора:
, де R — радіус кулі, H — висота відповідного кульового сегмента.

Площа круга

S =p R 2
Круговим сектором називається частина круга, яка лежить усередині відповідного центрального кута (див. рисунок).
S сект , де — гра­дусна міра відповідного центрального кута.
Круговим сегментом називається спільна частина круга й півплощини.
На рисунку нижче зліва зображений круговий сегмент, якщо ; на рисунку справа — круговий сегмент, якщо .