Метод экспоненциальной призмы

Цель работы: изучение метода экспоненциальной призмы как одного из методов экспериментального определения критических параметров ядерных реакторов; определение нейтронно-физических характеристик слабопоглощающих сред

Теоретические основы

Для стационарного случая уравнение диффузии имеет вид:

, (1)

где Ф (r) – плотность потока нейтронов; D – коэффициент диффузии; – макроскопическое сечение поглощения нейтронов в среде; S (r) – функция, описывающая распределение потока нейтронов источника.

В общем случае при наличие делящихся ядер в системе процесс деления увеличивает число нейтронов в раз за 1 с в 1 см³ за каждый акт деления. При этом в процессе деления рождаются быстрые нейтроны, которые в результате замедления становятся тепловыми. Тогда функция источника тепловых нейтронов имеет следующий вид:

, (2)

где – вероятность того, что быстрый нейтрон, рожденный в точке замедлится до теплового в точке r. Интегрирование ведется по всему объему системы – V.

Если пренебречь поглощением нейтронов в процессе замедления, то вдали от источника существует область, в которой устанавливается единый для всех точек Максвелловский спектр тепловых нейтронов. Для этой области выражение (1) с учетом (2) принимает следующий вид:

. (3)

Преобразуя выражение (3), получаем:

. (4)

В случае, когда в среде отсутствует размножение нейтронов ( =0), зная, что (L – длина диффузии), уравнение (4) имеет следующий вид:

. (5)

Если положить , где параметр является материальным параметром размножающей системы, и положить , то уравнения (4) и (5) приобретут одинаковый вид. В этом смысле параметр является аналогом материального параметра размножающей системы.

Реальные ядерные реакторы характеризуются большой сложностью взаимосвязанных нейтронно-физических, теплофизических, теплогидравлических и др. процессов. Поэтому экспериментальное определение его параметров крайне затруднено. В связи с этим на стадии разработки реакторов используют ряд экспериментальных методов, позволяющих определять те или иные характеристики реакторов. Одним из таких является метод экспоненциальной призмы.

Под призмой подразумевается прямоугольный параллелепипед подкритических размеров. Для определения характеристик проектируемого реактора призму изготавливают таким образом, что внутренняя геометрия призмы и ее материальный состав соответствуют таким же характеристикам активной зоны проектируемого реактора.

Рассмотрим реализацию метода призмы на примере неразмножающей системы, поэтому воспользуемся исходным уравнением (5). В декартовой системе координат уравнение (5) [а при наличии делящихся материалов уравнение (4)] имеет вид:

. (6)

Пусть в уравнении (6) переменные разделяются следующим образом:

. (7)

Подставляя выражение (7) в (6) получаем:

. (8)

Каждое слагаемое из левой части уравнения (8) зависит только от одной переменной, причем эти переменные взаимно независимые. Поскольку тем не менее сумма этих слагаемых равна постоянной, то каждое из них должно быть равно также постоянной. Таким образом, уравнение (8) трансформируется в систему следующего вида:

, (9)

где , , – произвольные постоянные, причем:

. (10)

Решения системы (9) известны:

. (11)

При этом постоянные , , могут быть как действительными, так и мнимыми числами. Если, например, – мнимое число, т.е. , то уравнение (9а) примет вид: , а его общее решение записывается следующим образом:

. (12)

С другой стороны, если, например, постоянная – действительное число, т.е. , то уравнение (9в) имеет следующее общее решение:

. (13)

Так как дифференциальные уравнения линейны, то общие решения допускают суперпозицию. Поэтому представим общее решение уравнения (6) в следующем виде:

. (14)

Тогда условие (10), при котором выражения (9) действительно являются решениями уравнения (6), в данном случае преобразуется к виду:

(15)

На рис.1 приведена схема прямоугольной призмы в декартовой системе координат. Размеры a, b, c – экстраполированные размеры призмы: ; ; , где , , – реальные размеры призмы, d – длина экстраполяции. Предположим, что на нижнем торце призмы (на плоскости z =0) помещен источник тепловых нейтронов. В качестве источника, например, могут выступать замедлившиеся нейтроны от лабораторного нейтронного источника, причем источник должен быть расположен быть в замедлителе на некотором расстоянии (не менее 3 ) от основания сборки (z =0), чтобы нейтроны, входящие в сборку, были тепловыми. В этом случае граничные условия для уравнения (6) записываются в следующем виде:

. (16)

Ввиду условия (16а) из решения (14) следует, что:

,

т.е. решения X (x) симметричны относительно начала координат и на границах обращается в нуль. Это возможно, если постоянная – мнимое число, так как экспонента с действительным показателем нигде в нуль не обращается. При этом отсюда же следует, что число n должно быть положительным. Поэтому для функции X_n (x) необходимо использовать решение типа (12). Причем вследствие установленной симметрии функции X_n (x) постоянная должна обращаться в нуль:

где . (17)

По аналогии можно записать решение для функции Y_m (y):

где . (18)

При этом условие (15), при котором выражения (17) и (18) являются решением уравнения (6), примет вид:

,

отсюда, обозначив , имеем:

. (19)

Из условия (19) следует, что постоянная является действительным и положительным числом.

Значения , , , определяемые из условия (19), при которых решение (14) верно называются собственными значениями, т.е. только при определенных значениях указанных постоянных уравнение (6) имеет решение. Причем из (19) следует, что – наименьшее собственное значение постоянной .

Таким образом, решение для функции Z_k (z) применимо решение типа (13):

. (20)

Используя граничное условие (16в) можно записать:

.

Расписывая гиперболические функции в соотношении (20) по определению через экспоненты, записываем общее решение уравнения (6):

, (21)

где , Постоянная B_mn определяется мощностью реального источника нейтронов.

Из физических соображений ясно, что слагающие (гармоники) плотности потока нейтронов затухают при удалении от источника. Медленнее всего затухает первая гармоника с m =1 и n =1, обладающая наименьшим показателем экспоненты. Другими словами существует область , где все гармоники, кроме первой, практически не будут вносить вклад в плотность потока нейтронов. Тогда для этой области решение (21) принимает следующий вид:

.

Рассматривая только зависимость по координате z в конечном итоге получаем:

, (22)

где .

Анализируя выражение (22) видим, что множитель характеризует влияние, оказываемое утечкой нейтронов через верхний торец призмы. Если рассматривать распределение потока в точках, не слишком близких к дальнему концу призмы (z = c), то второе слагаемое в квадратных скобках мало, т.е. существует расстояние , на котором влияние торца призмы пренебрежимо мало. Таким образом, для области характер зависимости Ф (z) имеет экспоненциальный вид:

. (23)

Пусть экспоненциальный участок зависимости Ф (z) известен. Тогда экспериментальное определение постоянной сводится к измерению плотности потока нейтронов в двух точках этого участка. Предположим, что такие измерения были проведены и получены следующие результаты: в точке z ₁ плотность потока нейтронов составляет величину Ф ₁, а в точке z ₂ – Ф ₂. Запишем выражение (23) для каждого результата:

.

Логарифмируя оба результата, получаем:

.

Из второго соотношения выразим ln B и подставим в первое. В итоге окончательно получим:

. (24)

Определив постоянную можно, зная размеры призмы, рассчитать параметр , используя условие (19):

. (25)

Таким образом, метод призмы позволяет определить параметр , который в случае размножающей среды представляет собой материальный параметр, т.е. ядерный реактор, построенный из тех же материалов, будет иметь такой же материальный параметр. В критическом реакторе материальный параметр равен геометрическому. Зная же геометрический параметр, можно рассчитать критические размеры проектируемого реактора. Такой же эксперимент для неразмножающей среды позволяет измерить длину диффузии нейтронов в ней.

Материалы и оборудование

В настоящей работе проводятся измерения параметра и длины диффузии нейтронов в неразмножающей среде, состоящей из графита и поглощающих элементов. На рис.2 приведена схема экспериментальной установки (в разрезе). Измерения проводятся на графитовой призме размером 120´100´180 см³, в вертикальные каналы которой введены поглощающие элементы. Последние представляют собой стальные трубы с кадмиевым наконечником. Источником нейтронов служит лабораторный плутоний–бериллиевый источник мощностью 10⁶¸10⁷ нейтр./с, который размещается внутри призмы под каналом, предназначенным для проведения измерений.

Измерения плотности потока нейтронов провидится с помощью торцевого нейтронного детектора, сигналы с которого регистрируются счетно–пусковой установкой СПУ–1–1М. Данная установка определяет полное (с учетом эффективности детектора) количество нейтронов за выбранный промежуток времени измерений. Таким образом, имеется возможность расчета скорости регистрации нейтронов в точке измерения, которая прямо пропорциональна плотности потока нейтронов. Размещение детектора на различных расстояниях от источника производится с помощью дистанцирующих графитовых дисков различной толщины. Комбинируя диски, проводятся измерения в экспериментальном канале призмы, начиная с дна данного канала и заканчивая верхним торцом призмы через 2 см. На каждом расстоянии проводятся два типа измерений: "детектор без кадмиевого чехла" и "детектор с кадмиевым чехлом".