Кинематических характеристик движения

НА УСТАНОВКЕ «МАЯТНИК ОБЕРБЕКА»

 

1. Цель работы

 

Целью работы является изучение основных кинематических характеристик поступательного и вращательного движения тел, экспериментальное исследование зависимостей пути и скорости от времени, опытное определение ускорения.

 

2. Подготовка к работе

 

Изучите теоретический материал по лекциям или учебнику [1-3]: модели материальной точки и абсолютно твердого тела, кинематические характеристики движения материальной точки (радиус-вектор, скорость, ускорение, тангенциальное и нормальное ускорения, угловые скорость и ускорение); кинематические характеристики движения абсолютно твёрдого тела. Ознакомьтесь с конструкцией лабораторного стенда и принципом изме­рений по методическому описанию. Ответьте на вопросы из раздела 4 данного описания. Подготовьте конспект для допуска к лабораторной работе и потренируйтесь отвечать на вопросы обучающего и контрольного тестов на CD.

 

3. Краткая теория

 

Из определения механического движения как изменения взаимного расположения тел в пространстве следует, что для его описания на математическом языке необходимо задать систему отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с некоторым телом отсчета. При этом абсолютно точного описания любого движения достичь невозможно. Поэтому при решении любой физической задачи необходимо использовать соответствующие модели. Простейшей является модель материальной точки (МТ) – такого объекта, который можно рассматривать как точку, имеющую массу (т.е. объекта, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь).

Положение МТ в пространственной системе отсчета задается радиус-вектором = {x _А ,y_А,z _А} – вектором, проведенным из начала координат в данную точку А. При движении МТ ее радиус-вектор меняется. Линия в пространстве, по которой перемещается конец радиуса вектора МТ, называется ее траекторией. Функция , выражающая изменение радиус-вектора во времени, называется законом или уравнением движения. Закон движения можно записать как в векторной, так и в координатной форме

или (1)

 

Знание закона движения МТ позволяет получить дополнительную информацию о движении. В частности, скорость и ускорение определяются формулами

и (2)

Например, закон прямолинейного равноускоренного движения вдоль оси 0y из точки y = 0 без начальной скорости имеет вид

. (3)

При прямолинейном равноускоренном движении без начальной скорости вдоль оси 0y из формул (2) и (3) получаем

. (4)

Зная закон движения, можно определить вектор перемещения , пройденный путь, радиус кривизны траектории и другие дополнительные характеристики движения.

При движении МТ по окружности с центром в начале координат ее радиус-вектор меняется только по направлению, а скорость может меняться и по величине и по направлению. Во многих случаях движение МТ по окружности удобнее задавать в полярных координатах (рис. 1). В этом случае положение точки А определяется ее полярным радиусом r (модулем радиус-вектора) и величиной полярного угла j. Величины

(угловая скорость) и (5)

(угловое ускорение) (6)

имеют смысл, аналогичный смыслу соответствующих характеристик поступательного движения (3).

При движении МТ по окружности радиусом r между скоростью и угловой скоростью имеется взаимосвязь

. (7)

При криволинейном движении (в том числе и при движении по окружности) вектор ускорения точки можно представить как сумму двух составляющих , где

(8)

- тангенциальное ускорение, направленное по касательной к траектории и характеризующее изменение скорости по абсолютной величине,

(9)

- нормальное ускорение, направленное к оси вращения и характеризующее изменение скорости по направлению.

Другой моделью, с которой приходится иметь дело в механике, является модель абсолютно твердого тела (АТТ) – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь.

Сложное движение АТТ можно представить как вращение с угловой скоростью в системе отсчета, которая движется поступательно со скоростью . Тогда линейная скорость некоторой точки, радиус-вектор которой в движущейся системе отсчета равен , может быть представлена в виде

. (10)

 

4. Вопросы для подготовки к допуску к лабораторной работе

 

1. Поясните модели материальной точки (МТ) и абсолютно твердого тела (АТТ).

2. Что такое траектория движения МТ?

3. Дайте определения радиус-вектора и закона движения МТ.

4. Дайте определения средней скорости и скорости материальной точки.

5. Каково соотношение между скоростями МТ в положениях A, B, C и D, приведенных на графике x(t) (рис. 2)?

6. Дайте определение ускорения МТ.

7. Запишите для МТ закон движения с постоянным ускорением. Запишите закон изменения скорости МТ при движении с постоянным ускорением.

8. Какова взаимосвязь между линейной и угловой скоростями при движении МТ по окружности?

9. Какова взаимосвязь между тангенциальным и угловым ускорениями при движении МТ по окружности?

10. Как по известной зависимости определить вектор перемещения?

11. Как по известной зависимости определить изменение скорости?

12. В чем суть метода графического дифференцирования?

 

5. Литература

 

I. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. I. М.: Наука, 1998 г.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.

 

6. Описание установки и методика проведения эксперимента

 

Схема лабораторного стенда изображена на рис. 3. Основным элементом стенда является крестовина из четырех стержней 1, закрепленных под углом друг к другу на шкиве 4 с горизонтальной осью. На стержнях с помощью винтов закрепляются одинаковые передвигаемые грузы 2. Для отсчета расстояний этих грузов от оси вращения на стержнях нанесены сантиметровые деления. Стержни вместе с грузами приводятся во вращательное движение с помощью нити 3, намотанной на шкив 4. На конце нити, перекинутой через легкий блок 5, подвешена платформа со сменными грузами 6. Расстояние, проходимое грузами 6, отсчитывается по вертикальной шкале 7 на стойке установки. Отсчет времени движения грузов производится при помощи фотодатчиков 8, подключенных к миллисекундомеру 9.

 

 

Вертикальность стойки установки обеспечивается вращением регулировочных винтов 10. На оси шкива 4 находится электромагнит, который затормаживает вращение стержней с грузами в момент пересечения платформой 6 светового луча нижнего фотодатчика (рис. 3а).

Длина пути, проходимого грузами 6 при поступательном движении, задается перемещением платформ 8 с фотодатчиками вдоль стойки установки. Измеряя время опускания грузов 6 при различных значениях длины пути, можно получить закон движения грузов y = y (t) в табличной форме. Дальнейшая обработка результатов измерений обычно осуществляется с помощью программных средств. В данной работе используется упрощенная и наглядная методика обработки экспериментальных данных. По полученным результатам измерений строится график закона движения грузов y (t). Зависимость скорости грузов от времени υ (t) определяется методом графического дифференцирования кривой y (t). Для этого ось времени разбивается на равные интервалы ∆t = t_i+1 - t_i. По графику определяются значения координат y_i, соответствующие каждому моменту времени t_i. Величину средней скорости на каждом участке траектории можно рассчитать по формуле

. (11)

По полученным значениям υ_i строится график υ (t)и по его виду идентифицируется характер движения платформы с грузами (равномерное, равноускоренное или с меняющимся ускорением). Аналогично, выполнив графическое дифференцирование зависимости υ (t), можно определить ускорение грузов.

В используемой экспериментальной установке кинематические характеристики поступательного движения грузов 6 и вращательного движений крестовины являются взаимозависимыми.

Рассмотрим точку касания шкива к прямому участку нити (точка А на рис. 4). Вращаясь с угловой скоростью ω вокруг оси шкива, она имеет скорость касающегося ее участка нити и, следовательно, равна скорости опускания груза. Из формулы (7) следует, что

. (12)

Аналогичное по форме соотношение можно получить и для ускорений

(13)

где а - ускорение грузов 6, β - угловое ускорение шкива, r - радиус шкива.

 

7. Порядок выполнения работы