Измерение зависимости координаты сменных грузов от времени

, (6)

где I_0z – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной заданной оси z, а - расстояние между этими осями. Из формул (5) следует, что момент инерции обладает свойством аддитивности – момент инерции АТТ, состоящего из нескольких частей, равен сумме моментов инерции этих частей. В большинстве случаев формула для расчета момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, имеет вид

, (7)

где - коэффициент, зависящий от формы тела, m - масса тела, R - радиус вращения точки тела, максимально удаленной от оси. Например, для обруча или кольца малой толщины k = 1, для диска k =1/2, для шара k = 2/5.

При записи закона сохранения механической энергии для плоского движения АТТ необходимо учитывать, что его кинетическая энергия слагается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс υ _цм, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс,

. (8)

4. Вопросы для подготовки к допуску к лабораторной работе

1. Поясните модель абсолютно твердого тела.

2. Какова взаимосвязь между линейной и угловой скоростями при движении МТ по окружности?

3. Как определяется положение центра масс (центра инерции) системы МТ?

4. Как движется центр масс изолированной (замкнутой) системы?

5. Какой закон определяет движение центра масс системы под действием внешних сил?

6. Чему равен импульс АТТ в системе центра масс?

7. Опишите сложное движение диска в лабораторной установке как комбинацию поступательного и вращательного движений.

8. Дайте определения кинетической, потенциальной и полной механической энергий. При каких условиях сохраняется полная механическая энергия?

9. Напишите формулу для расчета кинетической энергии АТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси.

10. Определите понятия момента силы и момента импульса относительно некоторой оси в пространстве.

11. Запишите основной закон динамики вращательного движения для АТТ с неподвижной осью вращения.

12. Объясните принцип экспериментального определения момента инерции вращающейся системы в данной лабораторной работе.

13. От каких параметров твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, зависит его кинетическая энергия?

14. Запишите закон сохранения полной механической энергии для сплошного цилиндра массой М и радиусом R, скатывающегося без проскальзывания по наклонной плоскости с высоты Н. Потерями энергии пренебречь.

15. Сплошной цилиндр катится без проскальзывания под действием горизонтальной силы, приложенной к его оси. Найти ускорение центра масс цилиндра, если его масса m, радиус R, сила F.

5. Литература

I. Савельев И.В. Курс общей физики. Кн. I. М.: Наука, 1998 г.

2. Савельев И.В. Курс физики. Т. I. М.: Наука, 1989 г.

3. Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 1990 г.

6. Методика проведения эксперимента и описание установки

Схема лабораторного стенда изображена на рис.2. Основным элементом стенда является диск I, через центр которого проходит ось 2. На эту ось наматываются две симметрично расположенные нити З. В исходном положении (показано пунктиром на правой части рис. 2) диск удерживается электромагнитами 4. При отключении электромагнитов диск начинает двигаться вниз с одновременным раскручиванием нитей.

Сложное движение диска можно представить как наложение двух независимых движений - поступательного и вращательного. Расстояние, проходимое центром инерции диска за счёт поступательного движения, отсчитывается по вертикальной шкале 5. Отсчёт времени поступательного движения производится по миллисекундомеру 6, на который подаётся сигнал от фотодатчиков. В тот момент, когда край опускающегося диска пересекает световой луч фотодатчика 7, отсчет времени прекращается. Массу диска можно изменять, добавляя на диск сменные кольца 11 (кольца выдаются лаборантом).

При необходимости изменить общую длину пути, проходимого диском при поступательном движении, регулируют длину нитей при помощи винта 8. При этом платформу 9 с фотодатчиком также соответственно перемещают, освобождая винт 10, так, чтобы опускающийся диск пересекал световой луч в конце пути, но не касался при этом самой платформы фотодатчика.

На диск (в том числе и со сменным кольцом) в процессе движения действуют две внешние силы (рис. 3): сила тяжести и сила натяжения нити F. Поэтому уравнение динамики его поступательного движения (1) запишем в виде

0y: ma _цм = mg – F, (9)

где m - суммарная масса диска, оси диска и сменного кольца (их значения выгравированы на соответствующих поверхностях). Уравнение динамики (2) вращательного движения диска вокруг оси, проходящей через центр масс, примет вид

, (10)

где I – момент инерции диска с осью и сменным кольцом, r – плечо силы натяжения нити относительно оси, проходящей через центр масс системы.

В используемой экспериментальной установке кинематические характеристики поступательного и вращательного движений диска являются взаимозависимыми. Рассмотрим точку касания оси диска к прямому участку нити (точка А на рис. 3). Так как точка А касается неподвижного участка нити, то скорость этой точки тоже равна нулю, т.е. υ _А = 0. С другой стороны, скорость этой же точки, находящейся на поверхности оси диска, можно представить как сумму скорости поступательного движения центра масс диска υ _цм и скорости вращательного движения точки А в системе отсчета, связанной с центром масс, υ _вр = ωr. Т.е.

. (11)

Отсюда следует, что по величине эти скорости равны, т.е. υ _цм = υ _вр или

υ _цм= ω r. (12)

Аналогичное по форме соотношение можно получить и для ускорений

а _цм= β r, (13)

где а _цм – ускорение центра масс диска, β – угловое ускорение диска.

С учетом формулы (13) уравнение динамики (10) можно переписать в виде

и, решая его совместно с (9), получить расчетные формулы для ускорения центра масс и момента инерции системы:

, (14)

. (15)

В правую часть формулы (14) входят только постоянные величины. Поэтому центр масс диска движется равноускоренно по закону

. (16)

Измеряя время опускания диска при различных значениях конечной координаты центра масс, можно получить его закон движения y = y(t) в табличной форме. Построив график зависимости y (t²), можно по его угловому коэффициенту определить ускорение центра масс диска

(17)

и по формуле (15) рассчитать суммарный момент инерции диска с осью и сменным кольцом.

Аддитивность момента инерции позволяет записать момент инерции системы в виде суммы

,

где I _д – момент инерции диска с осью без кольца, I _к – момент инерции сменного кольца. Используя формулу (7), получим

, (18)

где m _k – масса сменного кольца, R – внешний радиус сменного кольца (для всех колец они одинаковые).

7. Порядок выполнения работы