Спектры при уменьшении длительности импульса и периода сигнала

Регулировать скважность S=T/t_u можно либо изменением длительности импульса t_u при T=const, либо изменением периода Т при t_u=const. Рассмотрим спектры сигналов при этом.

1. T=const, t_u=var. Частота первой гармоники f₁=1/T=const и Df=f₁=const. Первый нуль N=T/t_u и по мере укорочения импульса t_u смещается в область гармоник с большими номерами. При t_u®0 N®¥, спектр получается дискретным с и Df=f₁, бесконечно широкий и с бесконечно малыми амплитудами гармоник.

2. t_u =const, T =var. Будем увеличивать период Т, тогда частота первой гармоники f₁ и расстояние между спектральными линиями Df будут уменьшаться. Так как Df=f₁=1/Т, то спектральные линии будут смещаться в область более низких частот и «плотность» спектра возрастет. Если Т®¥, то сигнал из периодического становится непериодическим (одиночный импульс). В этом случае f₁=Df®0, т.е. спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга.

Отсюда следует правило: периодические сигналы порождают дискретные (линейчатые) спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).

При переходе от дискретного спектра к непрерывному ряд Фурье заменяется интегралом Фурье. Наиболее просто эта замена выполняется, если использовать запись ряда Фурье в комплексной форме (2.16) и (2.17). Интеграл Фурье для непрерывного спектра записывается

, (2.30)

где (2.31)

Функция F(jw) называется спектральной функцией или спектральной плотностью, которая зависит от частоты. Формулы (2.30) и (2.31) называют в совокупности односторонним преобразованием Фурье, которое является частным случаем более общего преобразования Лапласа и получается заменой в преобразовании Лапласа комплексной переменной р на jw.

Спектральную функцию можно представить как огибающую коэффициентов ряда Фурье, т.е. как предел линейчатого спектра периодической функции при Т®¥. Функция F(jw) может быть действительной или комплексной. Считая в общем случае , мы получаем две частотные характеристики: - амплитудный спектр, т.е. зависимость амплитуды спектральных составляющих от частоты, и y(w) – фазовый спектр, т.е. закон изменения фазы спектральных составляющих сигнала от частоты. Можно показать, что амплитудный спектр – всегда четная, а фазовый спектр – всегда нечетная функция w. Спектральную функцию для многих непериодических сигналов (одиночных импульсов различной формы) наиболее легко и просто находить с помощью таблиц оригиналов и изображений в преобразовании Лапласа, которые приводятся в учебной и справочной литературе. После нахождения изображения по Лапласу F(p) для заданной непериодической функции f(t), спектральная функция находится

(2.32)

Итак, согласно (2.30) непериодическая функция f(t) представляется совокупностью бесконечно большого числа гармоник с бесконечно малыми амплитудами во всем диапазоне частот от - ¥ до +¥, т.е. представление f(t) в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование незатухающих гармонических колебаний бесконечного сплошного спектра частот.

 

1. описание лабораторной установки

 

Работа выполняется на блоке «Синтезатор сигнала», функциональная схема которого приведена на рис. 16.

Блок содержит генераторов Г1-Г6 шести первых гармоник сигнала. Частота первой гармоники равна 10 кГц. Гармонический сигнал с выхода n-го генератора через фазовращатель Ф_n и аттенюатор А_n поступает на сумматор. Фазовращателями задают начальные фазы j_n гармоник, а аттенюаторами – их амплитуды А_n.

На выходе сумматора в общем случае получается сумма шести гармоник сигнала

.

 

C выхода сумматора сигнал подается на вход Y осциллографа. Для его внешней синхронизации используется специальный импульсный сигнал, подаваемый с гнезда «Синхр.» на вход X осциллографа. Для установки и контроля амплитуд гармоник предусмотрена возможность отключения любой из гармоник. Включив только генератор n-ой гармоники, можно установить ее амплитуду аттенютором Аn и оценить ее значение с помощью осциллографа. Каждый фазовращатель с помощью переключателя позволяет установить требуемое дискретное значение начальной фазы гармоники, либо отключить генератор.

 

 

4. Расчетная часть. (Выполняется при домашней подготовке)

 

Для приведенных в теоретической части сигналов рассчитать амплитудный спектр An и фазовый спектр j_n для шести низших гармоник. Амплитуду первой гармоники принять равной 5В. Обратите внимание, что амплитуды гармоник An-неотрицательны, а возникающие в расчетах знаки «минус» следует отнести к фазе гармоники. Результаты расчетов для каждого сигнала необходимо свести в таблицу. Необходимые для расчетов параметры сигналов заданы в таблице 1.

 

n
An, B
jn, град

 

Таблица 1.

Номер стенда
Т/tj				4,5
S
M		0,9	0,8	0,7	0,6	0,5

 

Здесь t_j - длительность фронта сигнала (рис. 9), Т - его период, S– скважность последовательности импульсов (рис. 11), М - индекс амплитудной модуляции сигнала (2.26^/ ).

 

Внимание! Выполнение лабораторной работы без полностью выполненной расчетной части невозможно, поэтому студенты, не выполнившие задание, к лабораторной работе не допускаются.

 

5. Экспериментальная часть.

5.1.Подключить вход Y осциллографа к гнёздам «Выход», а вход Х - к гнезду «Синхр.». Установить внешнюю синхронизацию осциллографа.

5.2. Установить все переключатели φn в положение «Выкл», а переключатели Dφ₃ и Dφ ₅ - в положении «О». При этом сигнал на выходе сумматора должен отсутствовать.

5.3. Установить требуемые амплитуды гармоник для сигнала п. 2.2, а).

5.3.1.Установить переключатель φ₁ в положение «О». Потенциометром А1 установить требуемую амплитуду первой гармоники на выходе сумматора. Вернуть переключатель φ₁ в положение «Выкл».

5.3.2. Выполнить эту же операцию для всех остальных гармоник выбранного сигнала.

5.4. Переключателями φn установить требуемый фазовый спектр сигнала. Зарисовать осциллограмму полученного на экране сигнала.

5.5. Зарисовать осциллограммы сигнала при всех положениях переключателя Dφ ₃.Сделать вывод об искажениях сигнала, обусловленных погрешностями установки фазового спектра сигнала. Вернуть переключатель Dφ ₃ в положение «О».

5.6. Повторить пункты 5.3 и 5.4 для всех представленных теоретической части сигналов п.2.2 (б-з).

 

6. Содержание отчета.

 

6.1. Расчеты и таблицы амплитуд и фаз шести гармоник, графики амплитудных и фазовых спектров всех синтезируемых сигналов.

6.2. Экспериментальные осциллограммы всех сигналов.

6.3. Анализ полученных результатов и выводы по работе.

 

7. Контрольные вопросы.

 

7.1. Какие функции называются ортогональными? Приведите примеры.

7.2. Что собой представляет ряд Фурье?

7.3. Как вычисляются коэффициенты обобщенного ряда Фурье?

7.4. Запишите ряд Фурье в комплексной форме и определите его

коэффициенты.

7.5. Запишите ряд Фурье в тригонометрической форме. Укажите связь между коэффициентами ряда Фурье при различных формах его записи.

7.5. Дать определение и привести примеры амплитудных и фазовых спектров сигналов.

7.7. Нарисуйте амплитудные спектры меандра и последовательности прямоугольных импульсов при различных значениях скважности. Укажите их отличия.

7.8. Что собой представляет интеграл Фурье. В каких случаях он применим.

7.9. Что характеризует спектральная характеристика сигнала.

7.10 Что собой представляют амплитудный и фазовый спектр непериодического сигнала.

7.11. Запишите аналитическое выражение АМ-сигнала.

7.12. Как выглядит спектр АМ-сигнала при гармоническом модулирующем сигнале.

7.13. При каких условиях АМ- колебание можно отнести к периодическим сигналам.

8. Литература.

 

[5], [8], [10], [13], [15].

 

Лабораторная работа №9