Функция распределения дискретной случайной величины

 

Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения, представляющая собой вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем заданное х.

F(х)=Р{X<x} (2).

ФункциюF(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее заданной точки х.

 

Дан ряд распределения случайной величины Х.

xi
pi	0,4	0,3	0,1	*

Найти значение *, найти и изобразить графически функцию распределения.

 

Решение: так как сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке есть величина равная 1, *=1-(0,4+0,3+0,1)=0,2. Т.е. вероятность того, что случайная величина Х примет значение 7, равна 0,2.

Для нахождения функции распределения б удем задавать различные значения х и находить для них F(х)=Р{X<x}.

1. Если , то, очевидно, F(x)=0 в том числе и при х=2 F(2)=P(X<2)=0.
2. Если , например, х=3; F(x)=P(X=2)=0,4. очевидно, что и F(4)=P(X<4)=0,4.
3. Если , например, х=5; F(x)=P(X=2)+P(X=4)=0,4+0,3=0,7. очевидно, что и F(6)=P(X<6)=0,7.
4. Если , например, х=6,123; F(x)=P(X=2)+P(X=4)+P(X=6)=0,4+0,3+0,1=0,8. очевидно, что и F(7)=P(X<7)=0,8.
5. Если , например, х=8; F(x)=P(X=2)+ P(X=4)+P(X=6)+P(X=7)==0,8+0,2=1.

x

Изобразим функцию F(x) графически:

.

Заметим, что при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение, иначе говоря, функция распределения непрерывна слева.

Итак, функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующим возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции равна 1.

Свойства функции распределения.

1..

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

3. , .

4. Р(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁). (4)

Пример: Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале [2; 5).

Решение: По формулеР(х₁ Х<x₂)=F(x₂)-F(x₁). (4)

Р(2 Х<5)=F(5)-F(2)=1-2/3=1/3. (4).

Ответ: 1/3.

 

Математические операции над случайными величинами.

Определение: Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение принимает другая случайная величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

 

Пример: Суммы выигрыша в двух различных лотереях – независимые случайные величины так как при любом выигрыше в первой лотерее, закон распределения выигрышей по второй лотерее не изменится.

 

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Пусть даны две случайные величины: Х и Y

xi	х1	х2	х3	…..	xn
pi	p1	p2	p3	…..	pn

 

yj	y1	y2	y3	…..	ym
pj	p1	p2	p3	…..	pm

 

1. Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, …, n).
2. Cтепенью m случайной величины Х называется случайная величина Х^m, которая принимает значения x_i^m с теми же вероятностями p_i (i=1, …, n).

Замечание: так как в ряде случаев одни и те же значения x_i^m могут получаться одними и теми же способами при различных x_i, то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением исходных вероятностей.

 

Пример: Дана случайная величина Х:

xi	-3	-2
pi	0,1	0,2	0,05	0,3	0,35

Найти закон распределения случайных величин 5Х и Х².