Геометрическая вероятность

Задача 7.

Геометрическая вероятность – вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства).

Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(Ω). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область A - часть области Ω, равна отношению мер областей A и Ω, соответственно равные m(A) и m(Ω).

 

Формула геометрической вероятности имеет вид: .

Решение задач.

Задача о встрече

Пьеро и Буратино условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Они договорись, что тот, кто придет первым, ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи , если каждый из друзей может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть х и у — моменты прихода Пьеро и Буратино (они являются точками отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента – множество точек квадрата со стороной 1: .

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества (10 минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество А наудачу брошенной в квадрат точки означает, что Буратино и Пьеро встретятся. Тогда вероятность встречи равна .

2. В прямоугольник 5*4 см² вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е. 0353.

3. В треугольник с вершинами в точках (−1,0); (0, 1); (3,0) наудачу брошена точка (х, у). Найти вероятность того, что координаты точки удовлетворяют неравенству

2x + y ≤ 0.

Решение: Сделать чертеж. Закрасить область, удовлетворяющую условию задачи.P=1/6.

 

Тема 4

Полная вероятность. Формула Байеса.

Задача 8.

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одного события из

некоторой полной группы событий H₁, H₂, …H_n.

События этой группы обычно называют гипотезами. Тогда

P(A) = P(H₁)P_H1(A) + P(H₂) P_H2(А) +…+ P(Hn)P_Hn(A) (1)

(формула полной вероятности), причем

P(H₁) +P(H₂) +…+ P(H_n) = 1.

 

Пусть в результате испытания произошло событие А, которое могло наступить только

вместе с одним из событий H1, H2,…Hn, образующих полную группу событий (они

называются гипотезами). Требуется найти вероятность событий H₁, H₂,… Hn после

испытания, когда событие А имело место, т.е. P_A(Hi), i = 1,2,…n. Для нахождения этих вероятностей используют формулы Байеса (формулы гипотез):

 

P_A (Hi) = (2)

 

Замечания.

1) Вероятности P_A(H₁) называются послеопытными (апостериорными) вероятностями

гипотез Hi, а вероятности P(Hi) - доопытными (априорными) вероятностями гипотез

Hi. Эти вероятности различаются.

2) Знаменатель в правой части формулы (2) совпадает с правой частью формулы (1) и

равен P(A).

Решение задач.

1. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго.

а) Каков процент брака на конвейере?

б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?

 

Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: Н_i – взятая наудачу деталь обработана на i-ом станке,i=1,2,3.

Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):

,,.

Зависимости между производительностями станков означают следующее: . Причем P(H₁) +P(H₂) +P(H₃) = 1,так как гипотезы образуют полную группу.

Для того, чтобы найти вероятности появления гипотез, нам придется решить систему вышеперечисленных уравнений. Решив ее, получим .

а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:

P(A) = P(H₁)P_H1(A) + P(H₂) P_H2(А) + P(H₃)P_H3(A)== .

Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.

б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:

,

,

.

Таким образом, доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере для первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.

Тема 5

Повторные испытания.

Задачи 9-11.

Формула Бернулли: Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появится с вероятностью р, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n испытаниях, выражается формулой, которую называют формулой Бернулли

P_n(k) = C_n^kp^k q^{n – k} ,где q=1-p (1),

Иногда бывают полезны следующие формулы: Вероятность того, что событие A:

1) наступит n раз: ; (2)

2) не наступит ни разу: ; (3)

3) наступит хотя бы один раз: ; (4)

4) наступит не более k раз: (5)

или . (6)

5) наступит не менее k раз: (7)

или . (8)

Из формул (5)и(6), а также (7)и (8) выбирают ту, которая содержит меньше слагаемых.