Статистическая обработка группы результатов равноточных наблюдений

1. Исключение грубых ошибок

Внешним признаком результата, содержащего грубую ошибку, является его резкое отличие по величине от результатов остальных измерений. Статистический анализ наличия грубых ошибок заключается в определении вероятности того, что данное измерение содержит «промах» и сравнение ее с некоторым заранее заданным малым уровнем этой вероятности (P=0.05; 0.01 либо 0.001). Часто применяется

сравнение «выскакивающего» значения с критерием Шовене, справедливого

для нормального закона распределения погрешностей измерений.

Для этого:

1.1. По результатам n измерений некоторой величины определяется среднеарифметическое значение

1.2. Вычисляется абсолютная кажущаяся погрешность

;

Погрешность называется кажущейся, поскольку она вычисляется относительно не истинного значения величины, а ее оценки

1.3. Определяется среднее квадратическое отклонение отдельного наблюдения (эмпирический стандарт)

1.4. Сравнивается погрешность "выскакивающего" наблюдения с и критерием Шовена

Величина критерия Шовене зависит от количества наблюдений n, используемых при обработке.

Таблица 1. Значения критерия Шовене в зависимости от числа измерений

S	5	6	8	10	15	20	30	40	60	100
	1.64	1.71	1.85	1.96	2.13	2.24	2.39	2.50	2.64	2.81

Если , то результат наблюдения, выполненного с погрешностью считается грубой ошибкой и исключается из дальнейший обработки.

2. Оценка результата измерения

;

где , , определяются за вычетом грубых ошибок ("промахов").

Величина измеряется в тех же единицах, что и результаты наблюдений.

3. Определяются доверительные границы случайной погрешности.

Доверительные границы случайной погрешности результата

измерения - это тот интервал, в который с заданной вероятностью

должно попасть среднее арифметическое значение при бесконечном увеличении объема выборки (увеличении количества наблюдений).

Величина без учета знака вычисляется по формуле

где t - коэффициент Стьюдента 9 квантиль Стьюдента), зависящий от доверительной вероятности и числа результатов наблюдений (см.таблицу 2).

4. Определяют доверительные границы не исключённой систематической погрешности.

В экспериментальной практике встречаются случаи, когда невозможно заранее определить величину систематической погрешности и внести на нее поправку в результаты наблюдений.

Границы неисключенной систематической погрешности результата измерений вычисляются как композиция всех неисключенных систематических погрешностей, вызванных всеми причинами, поддающимися учету:

, где - границы -ой не исключенной систематической погрешности; т- количество учитываемых систематических погрешностей; - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. Для

Для значение коэффициента зависит от числа и от соотношения величин

При ;

При и ;

Если , то Внутри указанного диапазона допустима интерполяция.

5. Определяются доверительные границы погрешности

результата измерения.

5.1. Если , то не исключенную систематическую погрешность можно не учитывать, т.е. в этом случае суммарная погрешность результата измерения определяется случайной погрешностью

5.2. Если , то суммарная погрешность результата измерения целиком определяется неисключенными систематическими погрешностями и случайные погрешности можно не учитывать .

Таблица 2 Значения коэффициента Стьюдента

P	0.95	0.99
∞	2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,103 2,086 2,060 2,042 2,030 2,021 2,014 2,008 2,000 1,995 1,990 1,987 1,984 1,960	4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,878 2,845 2,787 2,750 2,724 2,704 2,689 2,677 2,660 2,648 2,639 2,632 2,626 2,576

Такое положение часто встречается при технических измерениях.

5.3. Если то суммарную погрешность вычисляют как композицию случайной и не исключенных систематических погрешностей

Выбор см. пункт4, т.е.,

если ,то

если или , то

На этом обработка группы наблюдений заканчивается и результат прямого измерения записывается как:

Если у экспериментатора возникают сомнения в том, что случайные отклонения результатов измерения подчиняются нормальному закону распределения, то необходимо выполнить специальное экспериментальное исследование для выяснения характера распределения, в котором число наблюдений должно быть сто и более.

Обработка результатов косвенных измерений

Результаты косвенных измерений обрабатываются с использованием результатов обработки прямых измерений:

1. Оценка измеряемой величины:

2. Весовые коэффициенты погрешностей прямых измерений:

3. Погрешность результата:

4. Среднее квадратическое отклонение погрешностей:

В данной лабораторной работе косвенными измерениями являются расходы воздуха и топлива . Для расчета расхода воздуха используется известная из газовой динамики формула (*):

Таким образом, весовые коэффициенты для определения погрешности измерения расхода воздуха могут быть рассчитаны по формулам:

; ; ; ; .

Для вычисления абсолютной погрешности результата необходимы величины . Ряд значений получен при обработке прямых измерении. Величина - константа, точность определения которой зависит от количества знаков посла запятой в числе .При обычной форме

ГДФ находится из таблиц по аргументу , который в свою очередь является результатом косвенного измерения . Все таблицы составлены с погрешностью округления чисел, равной половине последнего разряда, т. е. ,где - разряд числа, до которого произведено округление. Следовательно, для используемых таблиц где

Когда находится функция при не табличных значениях аргумента , обычно производится линейная интерполяция, которая также имеет некоторую погрешность . Большинство математических таблиц составлены так, что шаг таблицы и её точность - согласованы. При этом на любом участке таблицы ошибка линейной интерполяции не превосходит единицы младшего разряда табличных значений функции. В противном случае обычно указывается порядок допустимой интерполяции. Следовательно, при интерполяции внутри интервалов таблиц ГДФ, в получаемый результат вносится погрешность .

Погрешность, вычисления рассчитывается как погрешность косвенного измерения

где

Таким образом, погрешность является композицией перечисленных выше погрешностей, т.е. при доверительной вероятности