Множество S называется ограниченным, если оно содержится внутри круга (для множества на плоскости) или внутри шара (для множества в пространстве), имеющего достаточно большой радиус. Множество называется замкнутым, если оно включает в себя все свои предельные точки.
Важным свойством непрерывных функций является следующее.
Пусть z= f(x,у) — непрерывная функция, a S — замкнутое и ограниченное множество, лежащее в области определения функции f. Тогда в S существуют точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значения, множество значений представляет собою отрезок [fнаим,fнаиб].
Кратные интегралы и их свойства. Условия интегрируемости функции.
Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D. Значение этого предела называется двойным интегралом по области D 
Свойства двойного интеграла.
1. Если функция f(x;y) интегрируема в области D, то для любого числа к функция kf(x;y) также интегрируема в D и
2. Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и
3. Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируемы в области D и f(x; у) <= g(x; у) во всех точках D, то
4. Если функция f(x;y) ограничена на множестве Г нулевой площади, то
5. Свойство аддитивности интеграла. Если область интегрирования D может быть разбита на две части D1 и D2, не имеющих общих внутренних точек, так, что D=D1 объединение D2, и f(x;y) интегрируема в D1 и D2, то в области D эта функция также интегрируема, и
6. Теорема о среднем. Если функция f(x;y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (о, т ), что
Если функция f(x, у) определена и непрерывна в прямоугольнике Р = {a=<х=<b, с=<у=<d), то существует двойной интеграл P 
Пусть G — ограниченная область, f— ограниченная функция на G,Г — объединение границы G и множества точек разрыва f на G. Предположим, что площадь Г равна нулю. Тогда
существует интеграл G
Сведение кратного интеграла к повторному интегралу.
Если функция f(x,y) интегрируема в области G и при любом фиксированном х из [а,b] существует интеграл 
справедлива формула
Формула замены переменных в двойном интеграле. Использование полярных координат для вычисления двойных интегралов.
В полярных координатах:
52. Геометрические приложения двойных интегралов: вычисление площадей плоских фигур и объемов пространственных тел.
Определение. Если существует конечный предел интегральных сумм при ʎ->0 то функция f(x;y) называется интегрируемой в области D. Значение этого предела называется двойным интегралом по области D
