Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин

№ п/п	Примеры ПП 16 9. Текстовые задачи разного содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения величин
№24	Площадь поверхности сферы равна . Какова высота цилиндра наибольшего объема, вписанного в эту сферу? Обозначим высоту цилиндра , . По условию , . Из : . Объем цилиндра . По смыслу задачи , т.е. . Исследуем функцию на этом интервале. Производная при , вблизи этого значения меняет знак с + на –, значит при этой высоте объем цилиндра будет наибольшим.
№25	Владелец фабрики установил, что если он будет продавать свои изделия по цене руб., то его годовая прибыль составит руб. Определите , при котором прибыль будет максимальной. при , при этой цене прибыль будет максимальной.

пп 16. I. исследование функций

№ п/п

ЗАДАЧИ

ПП16.I №1

Найдите интервалы монотонности и точки экстремума функции

. РЕШЕНИЕ: Функция

не определена при

при



		разрыв
min

Функция возрастает при ; убывает при ; – точка минимума.

ПП16.I №2

Найдите экстремумы функции

х		-1

	+		–		+		–
		max		min		max

Вид графика функции .

ПП16.I №3

Исследуйте функцию

на возрастание (убывание) и экстремумы.

РЕШЕНИЕ: Функция

определена для

. Производная функции

обращается в ноль при

при

, то есть в точке

функция принимает минимальное значение.

ПП16.I №4

Исследуйте функцию

на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Производная функции

при

, второй множитель положителен при любых

. Знак производной совпадает со знаком

: при

функция убывает; при

функция возрастает, в точках

достигается максимальное

, а в точках

– минимальное

значения функции

ПП16.I №5

Исследуйте функцию

на возрастание (убывание) и экстремумы. РЕШЕНИЕ: Производная функции представляет собой многочлен, который мы преобразуем следующим образом:

, откуда видно, что

при любых

, значит, функция возрастает для всех

и экстремумов не имеет.

ПП16.I №6

Исследуйте функцию

и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1)

- точка пересечения с осями. 2) f (x) – непрерывна всюду

вертикальных асимптот нет.

- наклонная (горизонтальная) асимптота при

наклонных асимптот при

нет. 3)

. 4)

х
у
	+		–	–	–
	–	–	–		+
		max		перегиб

Вид графика функции .

ПП16.I №7

Сколько раз график функции

пересекает ось

? РЕШЕНИЕ: Функция определена для всех

, не обладает определенной четностью, непериодическая.

;

при

. График функции

пересекает ось

в одной точке

. Построим схему.




	max		min

ПП16.I №8

Исследуйте функцию

и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) Область определения функции:

; эти точки являются точками разрыва функции; при

функция

; при

2) Функция нечетная:

. Построим график для

и отобразим его нечетным образом относительно начала координат. 3) Точка пересечения с осью

определяется условием

для всех

из области определения, т.е. функция является убывающей и не имеет экстремумов.

ПП16.I №9

Исследуйте функцию

и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1) Функция определена всюду, кроме точки

. График функции имеет вертикальную асимптоту

. 2) Точка пересечения с осями:

. 3) Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

;

является наклонной асимптотой. 4) Находим производную:

. Знак производной определяется знаком дроби

. При

, а при

. Интервалы возрастания есть

; интервал убывания

. В области определения функции производная существует всюду и обращается в ноль при

. При

, а при

. Следовательно, точка

является точкой максимума. Находим значение функции при

При переходе через другую критическую точку

производная знак не меняет, т.е.

не является точкой экстремума. 5) Находим вторую производную

. Видим, что

при

, интервал

является областью выпуклости.

также при

- это тоже область выпуклости;

при

- это область вогнутости. В области определения функции

существует всюду;

при

. Так как при переходе через эту точку

меняет знак, то

есть абсцисса точки перегиба. Находим

х
у
	+		–	+		+
	–	–	–	–		+
		max			перегиб

График имеет вид

ПП16.I №10

Исследуйте функцию

и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1). Функция определена всюду, кроме точек

. Точки пересечения графика с координатными осями:

- точка пересечения с осями. 2). Функция нечетная,

, график симметричен относительно начала координат, достаточно исследовать функцию при

. 3). Точка

является точкой разрыва II-рода, график функции имеет вертикальную асимптоту

. Выясним, существуют ли наклонные асимптоты. Вычислим пределы:

;

, т.е.,

является правой наклонной асимптотой (и левой, так как при операции симметрии прямая переходит сама в себя). 4). Находим производную:

. Знак производной определяется знаком

. При

, а при

. Интервал возрастания -

; интервалы убывания -

. В области определения функции производная обращается в нуль при

. При

, а при

. Следовательно, точка

является точкой минимума. Находим значение функции при

. При переходе через критическую точку

производная знак не меняет, т.е.

не является точкой экстремума. 5). Находим вторую производную

. Видим, что

при

, на интервале

график функции выпуклый вверх. При

- график функции выпуклый вниз. В области определения функции

существует всюду;

при

. Так как при переходе через эту точку

меняет знак, то

есть абсцисса точки перегиба. Находим

х
у
		–	–		–
		–	+	+	+
	перегиб			min

График имеет вид:

ПП16.I №11

Исследуйте функцию

и постройте её график. РЕШЕНИЕ: 1). Так как функция периодична с основным периодом

, достаточно исследовать ее поведение на промежутке, длиной равном периоду, например, на

. Арктангенс определен для всех значений аргумента, поэтому областью определения сложной функции

будут промежутки оси

, на которых

, т.е., для промежутка

это будет

. Для

, область значений

. Точки пересечения графика с координатными осями: при

котангенс не определен, точек пересечения с осью

нет. Точки пересечения с осью

находим, решая уравнение

. 2). Четностью или нечетностью функция не обладает. 3). Точка

не является точкой разрыва, так как

не определена,

. Поскольку на каждом периоде график

лежит в конечной области плоскости

, асимптот у графика существовать не может. 4). Найдем производную:

. Для

, т.е., на каждом отдельном промежутке области определения функция монотонно убывает. 5).

Найдем вторую производную

. Корень уравнения

на

. При

график функции выпуклый вниз, при

- график функции выпуклый вверх. Точка графика

- точка перегиба. График

имеет вид

ПП16.I №12

Постройте график функции

. Область определения функции:

, это точка бесконечного разрыва функции,

для всех

;

при

;

при

Построим схему.




разрыв	острый min	max

ПП16.I №13	Найдите область определения функции (ООФ) . РЕШЕНИЕ: ООФ определяется системой неравенств: Введем переменную , тогда Из двух последних неравенств следует, что . Для решения первого неравенства рассмотрим функцию . Вычислим при . Итак, функция убывает на этом интервале, и ее значения при этом остаются положительными, так как и . Область определения функции найдем из неравенства , которому удовлетворяют .
ПП16.I №14	Докажите, что для . РЕШЕНИЕ: Рассмотрим функцию , . Производная , так как при , т.е. функция является убывающей и не превосходит для , т.е. , откуда .
ПП16.I №15	Найдите интервал, в котором находятся корни многочлена . . РЕШЕНИЕ: Полученный квадратный трехчлен имеет положительный коэффициент у старшего члена (на графике ветви параболы направлены вверх) и отрицательный дискриминант (график не имеет точек пересечения с осью ), значит, все значения квадратного трехчлена лежат выше оси и при любых . Из этого следует, что возрастает и имеет не более одного корня. Заметим, что , а , т.е. корень многочлена . Отметим, что корнем будет иррациональное число, так как на интервале не содержится целых чисел, которые были бы делителем свободного члена 12 исходного многочлена.
ПП16.I №16	При каких значениях уравнение имеет ровно два различных корня? РЕШЕНИЕ: Рассмотрим функции и . Абсциссы точек пересечения графиков этих функций будут решениями исходного уравнения. Исследуем поведение : , найдем критические точки из уравнения ; значения функции в этих точках равны , ; – точка максимума, – точка минимума. Из анализа графика функции и возможных точек пересечения с видим, что исходное уравнение имеет два корня, если или .
ПП16.I №17	Для каждого действительного числа определите, сколько корней имеет многочлен . РЕШЕНИЕ: Вычислим . Критическими точками производной являются значения и . Вычисление производной позволяет заключить, что для и для , и сделать вывод, что в точке функция принимает минимальное значение . Таким образом, для всех . При и многочлен имеет один корень; при график многочлена не имеет общих точек с осью и, соответственно, корней; при – два корня.
ПП16.I №18	Найдите число корней уравнения в зависимости от параметра . РЕШЕНИЕ: График функции пересекается с графиком в различном количестве точек в зависимости от . Области существования одного, двух, трех и четырех корней определяются геометрическим положением оси и касательными к графику функции в точках и . Найдем угловые коэффициенты этих касательных. Касательная задана уравнением , , где . Координаты точки касания находим из условия: , и . Аналогично для касательной : , , где , , и . В итоге получаем, что при уравнение имеет один корень; при – корней нет; при и – два корня; при – три, а при – четыре корня.
ПП16.I №19	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на . РЕШЕНИЕ: Из условия найдем значения и , в которых изменяется знак выражения, стоящего под знаком модуля. Функция не определена в точке . Заметим, что и не принадлежат отрезку . тогда Критические точки находим из условия на каждом из интервалов: Отрезку принадлежит одна критическая точка , в которой производная не существует. Вычислим значения функции , , , , для .
ПП16.I №20	Для каждого значения параметра найдите наименьшее значение функции на отрезке . РЕШЕНИЕ: , точка является точкой локального минимума функции. Наименьшее значение функции достигается в этой точке, если значение принадлежит интервалу , и реализуется случай если , то если , то
ПП16.I №21	При каких значениях функция на принимает свои наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка? РЕШЕНИЕ: Производная обращается в ноль при и , . В точке функция имеет максимум, значение может принадлежать отрезку при ; для того чтобы наибольшее и наименьшее значения достигались на концах отрезка, нужно, чтобы , т.е. при условии, что , т.е. .
ПП16.I №22	Найдите число, куб которого превышает утроенный его квадрат на минимальное значение. РЕШЕНИЕ: Обозначим через искомое число, составим функцию и найдем значение , при котором принимает минимальное значение. Производная при и . При , т.е. не удовлетворяется условие . Производная меняет знак при переходе через точку : при , при , т.е. в точке функция имеет минимум. Значит, искомое число равно двум.
ПП16.I №23	В арифметической прогрессии шестой член равен 3, а разность прогрессии больше 0,5. При каком значении разности этой прогрессии произведение первого, четвертого и пятого ее членов является наибольшим? РЕШЕНИЕ: По условию . Введем функцию . Найдем значение , при котором достигает наибольшего значения. Производная