| № п/п | Пример ПП 16 4. Построение графиков функций |
| №19 | Исследуйте функцию  и постройте её график.
1). Функция определена при всех  . Для нахождения точек пересечения с осями записываем уравнения  и  ; получаем, что ось  пересекается в точке с , а ось  - в точках  и  .
2). Точек разрыва нет. Так как нет точек разрыва 2-го рода, вертикальные асимптоты отсутствуют. Ищем параметры наклонных асимптот.  ,  
При вычислении второго предела использовано правило Лопиталя для раскрытия неопределённости типа  . Итак, у графика есть наклонная асимптота; её уравнение 
3). Находим производную:  . Знак производной определяется знаком выражения  . Видим, что в области   , при   и при  . Получаем, что в области  функция убывает, при  - возрастает и при - убывает. Находим критические точки.  при  ,  не существует при ,  . При переходе через  знак производной меняется с (-) на (+), т.е. это точка минимума. При  производная не существует, значит, минимум острый.  При переходе через вторую критическую точку  производная меняет знак с (+) на (-), т.е. при  - максимум:  . При переходе через знак производной не меняется, значит экстремума нет.
 4) Находим вторую производную:  . Видим, что  при ; в этой области график выпуклый;  при  , т.е. интервал  также является областью выпуклости. При   , следовательно, при график вогнут. Найдём точки перегиба. Вторая производная не существует при и при . При переходе через первую точку знак  не меняется, а при переходе через вторую – меняется. Итак, точкой перегиба является точка с координатами ,  .
|
Определение скорости возрастания и убывания функций
Скорость роста линейной функции 
постоянна и равна 
, квадратичной функции – линейна, и вообще, производная степенной функции, являясь меньшей степенью, растет медленнее, чем сама функция; скорость роста показательной функции пропорциональна значению самой функции, так как 
.
| № п/п | Пример ПП 16 5. Определение скорости возрастания и убывания функций |
| №20 | Какая из функций  или  растет быстрее при больших  ?
При  функция  растет быстрее, так как  ~  , а  ~ .
Определим, начиная с каких значений аргумента  становится больше  .
Рассмотрим  при  .  ,  при  , функция  возрастает, значит,  , т.е. функция  растет быстрее, начиная с  .
|
Доказательство неравенств с помощью производной
Если в точке 
выполняется условие 
и для всех 
выполняется условие 
, то для всех 
верно неравенство 
.
| № п/п | Пример ПП 16 6. Доказательство неравенств с помощью производной |
| №21 | Докажите неравенство:  при  .
Рассмотрим  . Докажем, что  при  , т.е. что эта функция является возрастающей.  , т.к.  , значит,  , если  . Это доказывает неравенство в случае строгого возрастания аргумента.
|
