Теорема о сумме произведений на алгебраическое выражение

определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(i = 1, 2,..., n)

Метод Крамера

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестных х1, х2,…хn В этой системе число уравнений равно числу неизвестных.

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 (1)

………………………….

an1x1+an2x2+…+annxn=bn

Матрица системы (1) имеет n строк и n столбцов т.е. является квадратной матрицей n-ого порядка. Определитель:

a11a12…a1n

D= a21a22…a2n

………….

an1an2…ann

этой матрицы является определителем системы.j-ый столбец системы т.е. столбец из коэффициентов при неизвестных xj, обозначим Aj;столбец, составленный из свободных коэффициентов системы через В. Тогда Dj(B) представляет собой определитель, полученный из определителя D заменой столбца Aj столбцом B.

a11a12…b1…a1n

Dj(В)= a21a22…b2…a2n

……………….

an1an2…bn…ann

Т.о. сформулируем теорему Крамера: Если главный определитель системы n линейных уравнений отличен от 0, то система совместна и имеет единственное решение. Это решение даётся следующим образом, значениями неизвестных:

xj=Dj(В)/D (j=1,2,…,n) (2)

 

Доказательство: Докажем сначала, что если D<>0, то система (1) совместна и имеет единственное решение.

Для этого выпишем расширенную матрицу системы (1):

a11a12…a1n b1

a21a22…a2n b1

…………… …

an1an2…ann bn

Каждый из столбцов этой матрицы можно считать некоторым вектором n-мерного пространства. Введём для них обозначения:

a11 a11 a1n b1

I1= a21, I2= a22, In= a2n, b= b2

… a.. … …

an1 an2 ann bn

Определитель D, составленный из коэффициентов векторов (I1, I2,… In) по условию отличен от 0. Значит эти векторы образуют базис линейного пространства.

Если использовать векторное обозначение, то систему (1) можно записать:

X1I1+x2I2+…+xnIn=b

Отсюда видно, что неизвестные x1, x2,…xn - не что иное как координаты вектора b в базисе. Но ведь любой вектор можно, и при том единственным способом, разложить по любому заданному базису. Поэтому система (1) имеет единственное решение.

Докажем, что решение системы (1) находится по формулам (2) D<>0

Предположим, что Х1, Х2, …,Хn – решение системы (1) умножим j-ый столбец определителя D на Xj. Тогда и сам определитель D умножим на Xj. Получим новый определитель:

а11 а12 … хjа1j … а1n

a12 а22 … хjа2j … а2n

Dxj = ……………………..

аn1 аn2 … xjanj … аnn

Прибавим к j-му столбцу этого определителя линейную комбинацию его остальных столбцов, которую составляем по следующему правилу: первый столбец умножаем на х1, второй – на х2, и т. д., последний столбец – на хn.

В результате такого преобразования определитель не изменится, не изменятся и все его столбцы, кроме j – го, а в j–ом появятся новые элементы.

Например в 1 – ой строке j – го столбца появится сумма: а11х1+а12х2+…+а1jхj+…+а1nхn

равная левой части 1 – ого уравнения (1). Но т.к. по предположению х1, х 2, …, хn – решение системы (1), то эта система равна b1. Значит в 1 – ой строке j – го столбца, появится элемент b1, во второй – b2, в последней (n – ой) – bn

Dxj примет вид определителя:

а11 а12 … b1 … a1n

a21 a22 … b2 … а2n = Dj(b)

…………………

аn1 an2 … bn … аnn

Это значит, что Dxj=Dj(b)

Отсюда находим, что Xj=D(b)/D

Величина xj может быть любой из величин х1, х2, хn. Следовательно решением системы (1) является формула (2).

Пример решения системы линейных уравнений методом Крамера:

х1 – х2 – 3х3 = 8

{ 2х1 + х2 – х3 = - 1

-2х1 + х2 = - 3

 

Вычисляем главный определитель:

1 -1 3

D = 2 1 -1 = -2+6+6+1=11 <> 0

-2 1 0

Т. к. D <> 0, данная система совместна и определена. Вычисляем:

8 -1 3

D1 = -1 1 -1 = -3-3+9+8=11

-3 1 0

 

1 8 3

D2 = 2 -1 -1 = 16-18-6-3=-11

-2 -3 0

 

1 -1 8

D3 = 2 1 -1 = -3-2+16+16+1-6=22

-2 1 -3

 

X1 = D1/D= 1; X2 = D2/D = -1; X3 = D3/D =2

 

Ответ: (1; -1; 2)