Две системы линейных уравнений от одного набора x1,..., xn неизвестных и соответственно из m и p уравнений
называются эквивалентными, если их множества решений 
и 
совпадают (т. е. подмножества 
и 
в Kn совпадают, 
). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами 
(т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые 
, 
и 
(т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).
Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)
Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа). При 
к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число 
(обозначение: (i)'=(i)+c(k); т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)'=(i)+c(k)). Новое i -е уравнение имеет вид (ai1+cak1)x1+...+(ain+cakn)xn=bi+cbk, или, кратко,
т. е. в новом i -м уравнении aij'=aij+cakj, bi'=bi+cbk.
Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа). При 
i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)'=(k), (k)'=(i); для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n
| 53. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений | |||||||||||||||||||
Формулы Крамера и матричный метод решения систем линейных уравнений не имеют серьезного практического применения, так как связаны с громоздкими выкладками. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме. Для того чтобы решить систему уравнений выписывают расширенную матрицу этой системы  и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы  будут располагаться нули. Разрешается: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число. С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы.
Рассмотрим метод Гаусса на примерах.
Пример 14. Установить совместность и решить систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент  равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).
  .
Имеем  Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.
Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований: 
Итак, имеем  Далее, подставляя  в третье уравнение, найдем  Подставляя  и  во второе уравнение, получим  и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные  получим   Таким образом, имеем решение системы 
54. Однородные системы линейных уравнений
Однородной системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
Эта система может быть записана в виде матричного уравнения
и операторного уравнения
Система (1) всегда совместна, так как: имеет очевидное решение x10 = x20 = … = xn0 = 0, которое называется нулевым, или тривиальным; добавление нулевого столбца не меняет ранга матрицы, следовательно, выполняется достаточное условие теоремы Кронекера–Капелли; θ О Img ^A, так как Img ^A — линейное пространство. Естественно, нас интересуют нетривиальные решения однородной системы. Условие нетривиальной совместности: Для того, чтобы однородная система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных. Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия", стр. 77. Следствие. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными (матрица системы A — квадратная) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы этой системы был равен нулю (det A = 0). Общим решением системы линейных уравнений называется формула, которая определяет любое ее решение. Так как система (1) эквивалентна операторному уравнению (2), то множество всех ее решений есть ядро оператора ^A. Пусть Ker ^A ≠ θ, Rg ^A = r и x1, x2, …, xn − r — базис в ядре оператора. Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется базис ядра оператора ^A (точнее, координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A). Это определение можно сформулировать несколько иначе: Фундаментальной системой решений однородной системы (1) называется n − r линейно независимых решений этой системы. Будем обозначать координатные столбцы базисных векторов в Ker ^A X1, X2, …, Xn − r. Теорема о структуре общего решения однородной системы уравнений: Любое решение однородной системы линейных уравнений определяется формулой
где X1, X2, …, Xn − r — фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений и C1, C2, …, Cn − r — произвольные постоянные. Свойства общего решения однородной системы уравнений: При любых значениях C1, C2, …, Cn − r X, определяемое формулой (3), является решением системы (1). Каково бы ни было решение X0, существуют числа C10, …, Cn − r0 такие, что
Вывод: Чтобы найти фундаментальную систему и общее решение однородной системы, нужно найти базис ядра соответствующего линейного оператора. |
