Примітивним елементом поля 
називається такий елемент 
, що всі ненульові елементи поля можна зобразити у вигляді степеня елемента .
Приклад 7. 1) Всі ненульові елементи поля 
зображені у вигляді степенів елемента 
.
2) Примітивним елементом скінченного поля 
є 2, тому що
, 
, 
, 
.
Примітивні елементи скінченного поля 
за простим 
розглядалися раніше в теорії чисел під назвою первісних коренів за модулем .
Означення. Порядком елемента 
скінченного поля називається найменше натуральне число 
з умовою 
. Позначається 
.
Якщо 
– елемент порядку мультиплікативної групи 
поля , то
1) 
;
2) є дільником числа 
;
3) 
або 
.
Зауваження. Якщо 
– просте число, то елемент 
поля можна розглядати як клас лишків кільця 
цілих чисел за простим модулем , представником якого є елемент . Тоді умова 
рівносильна умові 
, через що порядок будь-якого елемента мультиплікативної групи поля дорівнює показнику, якому належить ціле число за простим модулем .
Приклад 8. Визначити порядки елементів скінченого поля 
.
Розв’язання. Порядок елемента поля є дільником числа 
, тобто прядки елементів містяться серед чисел 1,2,3,6.
Для елемента 2:
, 
, 
,
отже 
.
Для елемента 3:
, 
, 
,
, 
, 
отже 
.
Для елемента 4:
, 
, 
,
отже 
.
Для елемента 5:
, 
, 
,
, 
, 
отже 
.
Для елемента 6:
, 
,
отже 
.
Для будь-якого ненульового елемента порядку 
з поля виконуються наступні твердження:
1. Якщо 
, то 
, 
.
2. Елементи 
поля всі різні.
3. Елементи поля являють собою всі корені многочлена 
.
4. Порядок елемента 
, 
, дорівнює 
(
– НСД чисел 
і 
). Зокрема, якщо 
, то 
.
5. Число всіх елементів поля , порядок яких збігається з порядком елемента , дорівнює значенню функції Ейлера 
.
Важливі властивості мультиплікативної групи поля сформулюємо у вигляді наступних теорем.
Теорема. Якщо 
– ненульові елементи поля , то
.
Доведення. Нехай 
– довільний елемент мультиплікативної групи поля , – порядок цього елемента. Тоді за теоремою Лагранжа (Порядок скінченої групи ділиться на порядок кожної своєї підгрупи) ділить число 
, тобто 
. Отже, 
і дійсно є коренем многочлена 
.□
Теорема (про мультиплікативну групу поля ). Мультиплікативна група ненульових елементів поля є циклічною.
Доведення. Розглянемо випадок 
. Порядок групи дорівнює 
. Якщо число 
розкладено на прості множники 
, то для кожного 
, у полі многочлен 
має не більше 
коренів. А оскільки 
, то у полі існують ненульові елементи, які не є коренями цього многочлена. Нехай 
– саме такий елемент поля. Покладемо 
. В такому разі 
, а тому порядок елемента 
є дільником числа 
і через це має вигляд 
, де 
. З іншого боку 
і порядок елемента дорівнює .
Покажемо тепер, що елемент 
має порядок 
. Припустимо супротивне. Нехай додатково порядок елемента 
– власний дільник числа , а значить, і дільник принаймні одного з цілих чисел , . Тоді
.
Тепер, якщо 
, то ділить число 
. Звідси 
, тобто порядок елемента 
повинен ділити число , що неможливо, оскільки він дорівнює 
.
Отже, – циклічна група з твірним елементом 
.□
Теорема (про примітивний елемент поля ). В кожному полі Галуа існує примітивний елемент.
Доведення. Оскільки всі ненульові елементи поля Галуа утворюють циклічну групу , то серед них існує елемент порядку , який є примітивним. □
З останньої теореми випливає, що примітивним елементом поля є твірний елемент 
циклічної групи .
