Які ви знаєте завдання фінансово-економічного характеру, розв’язувані за допомогою теорії корисності?

Приклади задач

Задача 8.1. Оцінювання корисності доходу. Припустимо, ви заощадили 5000 грн, щоб наступного року придбати меблі. Знайомий бізнесмен пропонує вам укласти гроші в його бізнес. У разі невдачі ви втрачаєте 5000 грн і можливість купити меблі. У разі успіху через рік ви одержуєте 30 000 грн. Фахівець із маркетингу оцінює ймовірність успіху в 0,3. Альтернативний варіант — покласти гроші в банк під 9 % річних без жодного ризику. Яке рішення ви приймете?

Задача 8.2. Проста і складена лотереї. Маємо два результати. Розглянемо дві прості лотереї L ₁ = (0,2; 0,8) та L₂ = (0,3; 0,7) і складену лотерею (L ₁ 0,4; L ₂ 0,6). Якій простій лотереї еквівалентна складена?

Задача 8.3. Припустімо, що початковий капітал особи, яка приймає рішення, становить 4 дол., а її функція корисності грошей — Їй пропонують лотерею, у якій можливі ви­граш 12 дол. з імовірністю 0,5 і нейтральний результат з імовірністю 0,5. Чи слід особі, яка приймає рішення, брати участь у лотереї? Скільки їй можна заплатити за право брати участь у лотереї?

Задача 8.4. За умовами контракту можливі два варіанти дій, що ведуть до різних результатів (табл. 4.1). Проранжирувати ці дії, заповнивши таблицю за: математичним сподіванням, середньоквадратичним відхиленням; коефіцієнтом варіації; очіку­ваною корисністю, побудувавши функцію корисності на відріз­ку [ – 20; 40].

Задача 8.5. Розгляньте лотереї з двома результатами L ₁= (0,4; 0,6) та L ₂ = (0,3; 0,7) і складену лотерею (L ₁, 0,2, L ₂ = 0,8). Якій простій лотереї еквівалентна складена?

Задача 8.6. Припустимо, що початковий капітал особи, яка приймає рішення, становить 1200 дол., а її функція корисності грошей . Їй пропонують лотерею, у якій можливі виграш 2000 дол. з імовірністю 0,3 і нейтральний результат з імовірністю 0,7. Чи слід брати участь у лотереї? Скільки можна заплатити за право брати участь у лотереї?

 

Задача 8.7. Розглянемо два варіанти вкладень 1000 грн. За першим варіантом можна отримати 10 % прибутку на вкладені кошти без будь-якого ризику. За другим варіантом можна або подвоїти капітал, або втратити його. Сторонній експерт вважає, що ймовірність успіху другого варіанта становить 0,3.

ДОХІД ЗА ОДИН РІК, грн..

Можливі результати	Можливі варіанти інвестування 1000 грн.
Варіант 1	Варіант 2
Успіх
Невдача

Рішення приймають дві різні людини: студентка, для якої 1000 грн — останні гроші; бізнесмен, який володіє капіталом у 500 000 грн.

Визначте варіант вкладання коштів студенткою та бізнесменом; побудуйте два графіки корисності й визначте за ними ставлення до ризику студентки та бізнесмена; розрахуйте корисність доходів для кожного.

Задача 8.8. Функція корисності деякої особи має вигляд U (x)= 0,2 х². Обчисліть очікуваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик для цієї особи, що бере участь у лотереї L (4; 0,5; 12). Побудуйте функцію корисності, зробіть висновок щодо схильності або несхильності цієї особи до ризику. Чи візьме особа участь у лотереї, аби гарантовано отримати х = 8?

 

Задача 8.9. Компанія «Білий сніг» наступного року пе­редбачає кілька варіантів отримання доходів і понесення витрат, млн грн: варіант 1: доходи [100, 120], витрати [80, 110]; ва­ріант 2: доходи [80, 100], витрати [70, 100]; варіант 3: доходи [100, 110], витрати [90, 120]; варіант 4: доходи [80, 120], витрати [90, 100].

Визначте оптимальний варіант з погляду критеріїв крайнього оптимізму та крайньої обережності, критеріїв Вальда, Севіджа й Гурвіца (за = 0,4). Розрахунки оформіть у вигляді таблиць, сформулюйте висновки.

Задача 8.10. Особа має зростаючу функцію корисності вигляду U(x) = 0,02х² ³ 0 і повинна обрати нове місце роботи з двох альтернативних варіантів. У першому випадку її невизначений дохід може становити 1000 тис. грн з імовірністю 0,5 або 3000 грн з тією самою ймовірністю. У другому місці їй пропонують безризиковий дохід 2000 грн. Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?

Задача 8.11. Можливі два варіанти дій, що ведуть до різних результатів. Проранжируйте ці дії, за: математичним сподіванням; дисперсією; за коефіцієнтом варіації; за сподіваною корисністю. Побудуйте функції корисності.

Таблиця 8.1

ДАНІ ДЛЯ ЗАДАЧІ 4.16

Варіанти	Виграші, їхні ймовірності й корисності
	Величина виграшів	– 20
Імовірність виграшів	0,1	0,2	0,3	0,4
Корисність виграшів		0,3	0,5
	Величина виграшів	– 30
Імовірність виграшів	0,2	0,3	0,4	0,1
Корисність виграшів	0,1	0,3	0,5	0,2

Задача 8.12. Функція корисності певної особи визначається логарифмічною залежністю (W). Вона може з однаковими шансами виграти і програти 100 грн. Скільки особа готова буде заплатити, щоб уникнути ризику, якщо поточний рівень її добробуту дорівнює 1 тис. грн?

Задача 8.13. Особа, яка приймає рішення про випуск продукції, має таку шкалу корисності доходу:

Корисність доходу
Дохід, тис. грн..

Зробіть висновок щодо схильності або несхильності цієї особи до ризику. Прогнозується, що на ринку можуть виникнути дві ситуації стосовно попиту на цей вид продукції: у першій ситуації дохід становить 70 тис. грн з імовірністю 0,75 або 210 тис. грн, а в другій — гарантовано 140 тис. грн. Який варіант обере ця особа за критеріями очікуваного доходу та очікуваної корисності? Розрахуйте її премію за ризик.

Задача 8.14. Власник підприємства постає перед ситуацією, коли з імовірністю 10 % пожежа може знищити все його майно, з імовірністю 10 % — зменшити його нерухомість до 10 тис. грн, з імовірністю 80 % вогонь не завдасть йому шкоди й вартість його майна залишиться рівною 20 тис. грн. Яку максимальну суму він готовий заплатити за страховку, якщо його функція корисності має логарифмічний вигляд (W), а страхові виплати становлять 20 тис. грн для першого випадку і 10 тис. грн — для другого?

Задача 8.15. Нехай функція корисності бізнесмена має такий вигляд: , де х — грошовий виграш. Бізнесмен може вкласти в будівництво магазину 25 тис. грн і вважає, що з імовірністю 0,5 він дістане прибуток у 32 тис. грн, а з імовірністю 0,5 утратить увесь свій капітал. Визначте, чи варто здійснювати інвестування проекту; якщо буде зроблене інвестування,то яка очікувана корисність цього заходу?

Задача 8.16. Бізнесмен під час своєї відпустки бажає зробити навколосвітню подорож, що коштує 10 000 дол. Корисність подорожі можна оцінити кількістю грошей, витрачених на відпочинок . Функція корисності виражається залежністю (x). Визначте:

· якщо існує 25 %-ва ймовірність утратити під час подорожі 1000 дол., то яка очікувана корисність навколосвітньої подорожі?

· яка максимальна грошова сума, що її бізнесмен готовий заплатити за страховку від утрати 1000 дол.?