Тема ХI. Определенный интеграл

Определение, свойства и вычисление

Определенного интеграла

 

Литература. [4], гл. XI, §1-5, §6 (пример можно опустить); упр.8,10,11,13,16-21,23,24.

 

Приближенное вычисление определенного интеграла

Литература. [4], гл. XI, §8; упр. 44, 46.

 

Несобственные интегралы

Литература. [4], гл. XI, §7; упр.29-31,34,35,37-40 или [5], № 1546-1552.

 

Геометрические приложения определенного интеграла

Литература. [4], гл. XI, §1; упр. 1,3,6-11, §2; упр.13,14,17,18, §3; упр. 38,40,41,47, §4,5; упр. 20-23,25, §6; упр. 49,53,56.

 

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

 

1. В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла?

2. Сформулируйте формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

3. Дайте определение несобственного интеграла первого рода. Приведите примеры сходящегося и расходящегося несобственного интеграла 1-го рода.

4. Дайте определение несобственного интеграла 2-го рода. Приведите примеры сходящегося и расходящегося несобственного интеграла 2-го рода.

5. Как вычисляется площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат?

6. Как вычисляется длина дуги кривой, заданной уравнением в декартовой и полярной системах координат?

7. Как вычисляется объем тела вращения? Как найти объем тела по известным площадям поперечных сечений?

8. Как вычисляется площадь поверхности тела вращения?

 

После изучения тем Х и ХI выполните контрольную работу №3.

 

ТЕМА ХII. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Двойной интеграл

 

Литература. [4], гл. XIV, §1,2б, п1.4-6б, §3, п. 8-10, 14,15,17, §4, п.24,25,32, §§5,6, п. 18-20,28, §7, п.43,46,48, §9, п.52; [5] ЧII, №31-40, 51-54.

 

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

 

1. Что называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D? Укажите его геометрический смысл.

2. Сформулируйте теоремы о двойном интеграле от суммы двух функций и о вынесении постоянного множителя за знак двойного интеграла.

3. Что называется двукратным интегралом от функции f(x,y) по области D? Как он вычисляется?

4. Сформулируйте теорему о среднем для двойного интеграла. Укажите ее геометрический смысл.

5. Как вычисляется двойной интеграл с помощью двукратного?

6. Как вычисляется двойной интеграл в полярных координатах?

7. Укажите механические приложения двойного интеграла.

 

Тройной интеграл

 

Литература. [4], гл. XIV, §11,12, п. 65,66, §13, п.67, §14, упр. 68,69; [5], Ч.II, №89,93.

 

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

 

1. Что называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по пространственной области V? Укажите его механический смысл.

2. Сформулируйте теорему о среднем для тройного интеграла.

3. Как вычисляется тройной интеграл с помощью трехкратного?

4. Как вычисляются объем тела с помощью тройного интеграла? Координаты центра масс?

 

ТЕМА XII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Криволинейные интегралы: их определение,

Свойства и приложения

 

Литература. [4], гл.XV, §1,2, п.1,3,6,7, §4, «Замечание»; [5], Ч.II, гл.II, §1,4, №144-147.

 

В [4] рассмотрены два типа криволинейных интегралов: криволинейный интеграл по координатам и криволинейный интеграл по длине дуги. Определение криволинейного интеграла по координатам (криволинейный интеграл от векторной функции) дано в § 1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги приведено в конце § 4 (см. замечание в конце § 4).

 

Формула Грина. Условия независимости

Криволинейного интеграла от пути интегрирования

 

Литература. [4], гл XV, §3,4; [5], Ч.II, гл.II, §2,3.

 

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

 

1. Что называется криволинейным интегралом по координатам? Сформулируйте основные свойства криволинейного интеграла.

2. Что называется криволинейным интегралом по длине дуги?

3. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной параметрическими уравнениями?

4. Как вычисляется криволинейный интеграл по кривой, заданной уравнением y=f(x)?

5. Запишите и поясните формулу Грина.

6. Сформулируйте условия независимости криволинейного интеграла по пути интегрирования.

 

ТЕМА IX. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

Основные понятия

 

Литература. [4], гл. VIII, §1,2; [3], гл.7, §1, п.1, задачи 7.1-7.31; [4], гл. VIII, §3,4; [6] гл.7, §1, п.2, задачи 7.32-7.36, 7.43-7.49.

 

Частные производные

Литература. [4], гл. VIII, §5,6, упр. 1-10.

 

Полный дифференциал.