Белорусский национальный технический университет
Автотракторный факультет
Кафедра «Тракторы»
Группа 101019
Отчёт
По лабораторной работе №6
по курсу «Математическое моделирование»
«Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений»
Выполнил:
Проверил:
Минск 2011
Цель работы: знакомство с некоторыми, наиболее широко используемых при проектировании и исследовании узлов и агрегатов мобильных машин, методами решения уравнений.
Математическая модель:
Метод касательных (метод Ньютона)
Метод последовательных приближений, разработанный Ньютоном, широко используются для построения итерационных алгоритмов. Его популярность обусловлена тем, что для определения интервала, в котором заключен корень, не требуется находить значения функции с противоположными знаками. Вместо интерполяции по двум значениям функции в методе Ньютона осуществляется экстраполяция с помощью касательной к кривой в данной точке. На рисунке 1 показана блок-схема алгоритма этого метода, в основе которого лежит разложение функции 
в ряд Тейлора
Члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, отбрасываются и используется соотношение 
. Предполагается, что переход от 
к 
приближает значение функции к нулю так, что 
Тогда
причем за нулевое приближение 
принимается такое значение из отрезка [ а, в ], для которого выполняется условие 
.
Значение соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке пересекает ось x -ов. Так как кривая отличная от прямой, то значение функции 
скорее всего не будет равняться нулю. Поэтому вся процедура расчета повторяется, причем вместо используется . Счет прекращается по достижении условия 
. Здесь e - точность вычисления, задаваемая расчетчиком.
Рисунок 1- Графическая интерпретация метода касательных и блок-схема алгоритма метода касательных.
На рисунке 1 процесс решения уравнения методом касательных показан графически. Ясно видно, что быстрота сходимости в большой мере зависит от удачного выбора начальной точки.
Если в процессе итераций тангенс угла наклона касательной 
обращается в нуль, то применение метода осложняется. В случае бесконечно большого значения 
метод также не будет эффективным. Так как условие кратности корней имеет вид 
, то в этом случае метод Ньютона не обеспечивает сходимости.
Подпрограммы МК уточнения корня уравнения методом касательных и FunMK, в которой описываются решаемое уравнение и производная, представлены на рисунке 2.
Procedure MK(x0,e:real;Var x:real); Procedure FunMK(x:real;Var fx,fx1:real);
Var z,fx,fx1: real; Var y,y1,tg:real;
I: integer; begin
{$I FunMK} y:=0.55*x+0.1;
begin y1:=cos(y);
x:=x0; i:=1; tg:=sin(y)/y1;
repeat fx:=x*x-tg;
FunMK(x,fx,fx1); fx1:=2*x-0.55/sqr(y1)
z:=fx/fx1; end;
x:=x-z;
Inc(i); fx1:=abs(fx);
until (fx1<=e) or (i>50)
End;
Рисунок 2 - Тексты подпрограмм MK и FunMK
В подпрограмму МК передаются начальное значение аргумента и точность вычисления e. Вычисления продолжаются пока не выполнится условие 
или число итераций станет больше 50. Значение функции и производной вычисляются в подпрограмме FunMK, в которую передается значение аргумента x. Из подпрограммы FunMk в вызывающую подпрограмму MK возвращаются значения функции и производной.
Исходное уравнение: X4-14X3+60X2-70X=0
Текст программы:
begin
DecimalSeparator:='.';
Gran(a0,B,K,R1);
predel(R1,R2,x0);
MK(x0,e,x);
AssignFile(Fr,'Rez.dat');
Rewrite(Fr);
x1:=R2;
Repeat
x1:=x1+0.001;
rrr(x1,Fx);
writeln(Fr,' ', x1:6:4,' ', Fx:8:4,' ');
CloseFile(Fr);
end;
Xmin=1,8666 Xmax=9,3666
Вывод: В ходе работы познакомился с некоторыми, наиболее широко используемых при проектировании и исследовании узлов и агрегатов мобильных машин, методами решения уравнений. Нашел наибольший и наименьший корень уравнения методом касательных.
