Расчет переходных процессов

Пример 9. Рассчитать изменение тока i ₁ и напряжения u ₂ в схеме четырехполюсника (рис. 16, а) для режима холостого хода (Z _н =) на интервале t ₀ t t ₀ + T при подключении его к клеммам с напряжением u ₁₂ в момент t ₀, когда напряжение u ₁₁(t ₀) = 0, du ₁₁(t ₀)/ dt > 0, т.е. в момент перехода отрицательной полуволны напряжения в положительную (рис. 16, б). Значения параметров элементов схемы и входного напряжения: R ₁ = 45 Ом, R ₂ = 8 Ом,
R ₃ = 10 Ом, L = 50 мГн, С = 250 мкФ, u ₁₁(t) = 14,1sin(10³ t + p/4) B, u ₁₂(t) = [20, t ₀₊ t t ₀ + T /2_– ; –20, t ₀ + T /2₊ t t ₀+ T _–], T = 6,28 10^–3 с.

Рис. 16

Решение. Подготовим схему — выберем условно положительные направления токов и напряжений. Определим независимые начальные условия u_C (t ₀₊) и i_L (t ₀₊) из значений u_C (t) и i_L (t), рассчитанных до коммутации: u_C (t ₀₊) = u_C (t _0–), i_L (t ₀₊) = i_L (t _0–). Значение u_C (t) и i_L (t) = i ₁(t) рассчитаем с использованием метода комплексных амплитуд: I _{1 m} = U _{1 m} / Z _вх, U _{1 m} = 14,1 e ^{j p/4}, Z _вх = R ₁ + j w L ₁ + R ₃ + R ₂(– j / w C) / (R ₂ – j / w C) = =45 + j 50 + 10 + 8(– j 4) / (8 – j 4) = 56,6 + j 46,8. Тогда I _{1 m} = (10 + j 10)/(56,6 + j 46,8) = (0,1917 + j 0,0182) = =0,193exp(j 5,42) i ₁(t) = 0,193sin(10³ t + 5,42). Напряжение U _Cm = Z _bc I _{1 m} = [ R ₂(– j / w C) / (R ₂ – j / w C)] I _{1 m} = =(1,6 – j 3,2) (0,1917 + j 0,0182) = 0,365 – j 0,584 = 0,689exp(– j 58)

u_C (t) = 0,689sin(10³ t – 58).

Определим время коммутации t ₀ из заданного условия u ₁₁(t ₀) = 0, du ₁₁(t ₀) / dt > 0: u ₁₁(t ₀) = 14,1sin(w t ₀ + p/4) = 0, отсюда t ₀ = –p/(4w), w t ₀ = –p/4 = _ 45. Соответственно, i_L (t _0–) = i_L (t ₀₊) = 0,193sin(– 45 + 5,42) =

= – 0,123; u_C (t ₀₊) = u_C (t _0–) = 0,689sin(– 45 – 58) = – 0,671.

В последующем расчете начало отсчета t ₀ примем за ноль, тогда i_L (t ₀₊) = i_L (0₊) = – 0,123 А, u_C (t ₀₊) =

= u_C (0₊) = – 0,671 В.

Характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составим методом входного сопротивления: Z (p) = R ₁ + pL + R ₃ + (R ₂ / pC) /
/ (R ₂ + 1 / pC) = 0. После преобразования получим Z (p) = p ² +
+ p [(R ₁ R ₂ C + L) / (R ₂ LC)] + (R ₁ + R ₂) / (R ₂ LC) = 0. Введем обозначения и рассчитаем

d = (R ₁ R ₂ C + L) / (2 R ₂ LC) = 800, = (R ₁ + R ₂) / (R ₂ LC) = 630 000: p ² + 2d p + = p ² + 2800 p + 630 000 = 0, корни p _1,2 = – d = _ 800 = – 800 100, p ₁ = – 700 с^–1, p ₂ = – 900 с^–1.

На основании полученных корней запишем выражения для токов, напряжений и их производных (так как система второго порядка) в общем виде:

y (t) = y _св + y _вын= A ₁exp(p ₁ t) + A ₂exp(p ₂ t) + y _вын;

dy (t)/ dt = p ₁ A ₁exp(p ₁ t) + p ₂ A ₂exp(p ₂ t) + dy _вын/ dt. (1)

Для определения зависимых начальных условий и установившихся значений токов и напряжений составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа, которая будет справедлива на интервале

0₊ t:

u ₁₂(t) = R ₁ i ₁ + u_L + R ₃ i ₁ + u_C, u_C – R ₂ i ₂ = 0, i ₁ = i ₂ + i ₃. (2)

Первый интервал 0₊ t T /2_– : u ₁₂(t) = 20 В.

Найдем зависимые начальные условия для момента коммутации ключа t ₀₊, для которого

i_L (0₊) = i ₁(0₊) = – 0,123 А, u_C (0₊) = – 0,671 В: i ₂(0₊) = – 0,0839 А, i ₃(0₊) = – 0,207 А, u_L (0₊) = 27,436 В.

Определим вынужденные значения (t =) токов и напряжений из уравнений (2), зная, что при постоянном (не изменяющемся во времени) воздействии u_L () = 0, i ₃() = i_С () = 0. Получим:

i ₁() = u ₁₂ / (R ₁ + R ₂ + R ₃) = 0,317 А, u_C () = i ₁() R ₂ = 2,54 В.

Составим уравнения для определения постоянных интегрирования выражений i ₁(t) и u _L(t) согласно (1): i ₁(0₊) = A ₁ + A ₂ + i ₁(), u_L (0₊) = L (di ₁/ dt)(0₊) = L (p ₁ A ₁ + p ₂ A ₂) + u_L (); –0,123 = A ₁ + A ₂ +
+ 0,317; 27,436 = 0,05[(–700) A ₁ + (– 900) A ₂] + 0. Решая уравнения, найдем A ₁ = 0,761, A ₂ = – 1,202. Окончательно решение для i ₁(t) и u_L (t): i ₁(t) = (0,761 e ^{–700 t} – 1,202 e ^{–900 t} + 0,317) А, u_L (t) = (–26,635 e ^{–700 t} +
+ 54,1202 e ^{–900 t}) В.

Аналогично, используя начальные и вынужденные значения, найдем решение для u_С (t) и i ₃(t) = i_С (t) = Сdu_С / dt на первом интервале входного воздействия:

u_С (t) = (– 15,24 e ^{–700 t} + 12,02 e ^{–900 t} + 2,54) В; i ₃(t) =

=(2,665 e ^{–700 t} – 2,704 e ^{–900 t} ) А; u ₂(t) = u_С (t) + i ₁(t) R ₃ = (– 7,63 e ^{–700 t} + 5,715) В.

Второй интервал T /2₊ t T _– : u ₁₂(t) = – 20 В.

Скачкообразное изменение входного напряжения в момент
t = T /2 создало новые условия для протекания переходного процесса. Методика расчета аналогична методике для первого интервала. Прежними остаются только корни, так как структура и параметры элементов схемы не изменились, а напряжение источника входного воздействия на корни не влияет.

Независимые начальные условия u_C (T /2₊) и i_L (T /2₊) = i ₁(T /2₊) определим из u_C (t) и i_L (t) первого интервала: u_C (T /2₊) = u_C (T /2_–) = (–15,24 e ^{–700 T /2} + 12,02 e ^{–900 T /2} + 2,54) = 1,56, i ₁(T /2₊) = i ₁(T /2_–) =
= (0,761 e ^{–700 T /2} – 1,202 e ^{–900 T /2} + 0,317) = 0,331, T /2 = 3,14 10^–3 с.

Зависимые начальные условия и вынужденные значения токов и напряжений вычислим, воспользовавшись уравнениями (2): i ₂(T /2₊) = 0,195 А, i ₃(T /2₊) = 0,136 А, u_L (T /2₊) = – 39,765 В; u_L () = 0 В, i ₃() = 0 А, i ₁() = i ₂() = u ₁₂ / (R ₁ + R ₂ + R ₃) = – 0,317 А, u_C () = R ₂ i ₂() = – 2,54 В.

Решение для i ₁(t) и u ₂(t) найдем, используя u_C (t) и i_C (t) и уравнения (2). С учетом смещения процессов по оси времени относительно начала отсчета получим: u_C (t) = u_{C св} + u_{C вын} = A ₁
exp[ p ₁(t – T /2)] + A ₂ exp[ p ₂(t – T /2)] + u_{C вын}; i_C (t) = Cdu_C (t) / dt =
= Cp ₁ A ₁exp[(p ₁(t – T /2)] + Cp ₂ A ₂exp[(p ₂ t – T /2)]+ i_{C вын}.

При t = (T /2₊): u_C (T /2₊) = A ₁ + A ₂ + u_{C вын}(T /2₊); i_C (T /2₊) = Cp ₁ A ₁ + Cp ₂ A ₂ + i_{C вын}(T /2₊). Подставляя в эту систему начальные и вынужденные значения токов и напряжений, найдем постоянные интегрирования: – 1,56 = A ₁ + A ₂ – 2,54; 0,136 = 0,05(– 700) A ₁ + 0,05 (– 900) A ₂; A ₁ = 21,17; A ₂ = –17,07. Следовательно,

u_C (t) = {21,17exp[–700(t – T /2)] – 17,07exp[–900(t – T /2)] – 2,54} B;
i_C (t) = i ₃(t) = {–3,705exp[(–700(t – T /2)] + 3,841exp[(–900(t – T /2)]} A;

i ₂(t) = u_С (t)/ R ₂ = {2,646exp[–700(t – T /2)] – 2,134exp[–900(t – T /2)] –
– 2,54} A; i ₁(t) = i ₂(t) + i ₃(t) = {– 1,06 exp[–700(t – T /2)] + 1,71 exp[– 900(t – T /2)] – 0,317} A;

u ₂(t) = u _С (t) + i ₁(t) R ₃ = {10,58 exp[– 700(t – T /2)] – 5,715} B.

Чтобы убедиться в правильности полученных результатов, выполним проверку:

1. Определим из найденных решений значения i ₁(T /2_–) и i ₁(T /2₊). Согласно закону коммутации, i ₁(t) = i_L (t) не может измениться скачком, т.е. i ₁(T /2_–) = i ₁(T /2₊): i ₁(T /2_–) = 0,331 А, i ₁(T /2₊) =
= 0,3305 А — равенство соблюдается с достаточной точностью.

2. Изменение входного напряжения u ₁₂(t) в момент t = T /2 на (–2 U ₁₂) = – 40 B может уравновесить в данной схеме только напряжение на индуктивность, так как остальные напряжения скачком измениться не могут, следовательно, u_L (T /2₊) – u_L (T /2_–) = – 40. Проверим, используя найденные решения:

u_L (T /2₊) = u ₁₂(T /2₊) – u _С(T /2₊) – i ₁(T /2₊)(R ₁ + R ₃) = – 39,765 В, u_L (T /2_–) = 0,248 В, u_L (T /2₊) – u_L (T /2_–) =

= –39,765 – 0,248 = –40,013 В — результаты совпадают с достаточной точностью. При первой коммутации изменение напряжения на индуктивном элементе U_L должно равняться 20 В (проверьте!).