Пример 9. Рассчитать изменение тока i 1 и напряжения u 2 в схеме четырехполюсника (рис. 16, а) для режима холостого хода (Z н =) на интервале t 0 t t 0 + T при подключении его к клеммам с напряжением u 12 в момент t 0, когда напряжение u 11(t 0) = 0, du 11(t 0)/ dt > 0, т.е. в момент перехода отрицательной полуволны напряжения в положительную (рис. 16, б). Значения параметров элементов схемы и входного напряжения: R 1 = 45 Ом, R 2 = 8 Ом,
R 3 = 10 Ом, L = 50 мГн, С = 250 мкФ, u 11(t) = 14,1sin(103 t + p/4) B, u 12(t) = [20, t 0+ t t 0 + T /2– ; –20, t 0 + T /2+ t t 0+ T –], T = 6,28 10–3 с.
Рис. 16
Решение. Подготовим схему — выберем условно положительные направления токов и напряжений. Определим независимые начальные условия uC (t 0+) и iL (t 0+) из значений uC (t) и iL (t), рассчитанных до коммутации: uC (t 0+) = uC (t 0–), iL (t 0+) = iL (t 0–). Значение uC (t) и iL (t) = i 1(t) рассчитаем с использованием метода комплексных амплитуд: I 1 m = U 1 m / Z вх, U 1 m = 14,1 e j p/4, Z вх = R 1 + j w L 1 + R 3 + R 2(– j / w C) / (R 2 – j / w C) = =45 + j 50 + 10 + 8(– j 4) / (8 – j 4) = 56,6 + j 46,8. Тогда I 1 m = (10 + j 10)/(56,6 + j 46,8) = (0,1917 + j 0,0182) = =0,193exp(j 5,42) 
i 1(t) = 0,193sin(103 t + 5,42). Напряжение U Cm = Z bc I 1 m = [ R 2(– j / w C) / (R 2 – j / w C)] I 1 m = =(1,6 – j 3,2) (0,1917 + j 0,0182) = 0,365 – j 0,584 = 0,689exp(– j 58) 
uC (t) = 0,689sin(103 t – 58).
Определим время коммутации t 0 из заданного условия u 11(t 0) = 0, du 11(t 0) / dt > 0: u 11(t 0) = 14,1sin(w t 0 + p/4) = 0, отсюда t 0 = –p/(4w), w t 0 = –p/4 = _ 45. Соответственно, iL (t 0–) = iL (t 0+) = 0,193sin(– 45 + 5,42) =
= – 0,123; uC (t 0+) = uC (t 0–) = 0,689sin(– 45 – 58) = – 0,671.
В последующем расчете начало отсчета t 0 примем за ноль, тогда iL (t 0+) = iL (0+) = – 0,123 А, uC (t 0+) =
= uC (0+) = – 0,671 В.
Характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составим методом входного сопротивления: Z (p) = R 1 + pL + R 3 + (R 2 / pC) /
/ (R 2 + 1 / pC) = 0. После преобразования получим Z (p) = p 2 +
+ p [(R 1 R 2 C + L) / (R 2 LC)] + (R 1 + R 2) / (R 2 LC) = 0. Введем обозначения и рассчитаем
d = (R 1 R 2 C + L) / (2 R 2 LC) = 800, 
= (R 1 + R 2) / (R 2 LC) = 630 000: p 2 + 2d p + 
= p 2 + 2800 p + 630 000 = 0, корни p 1,2 = – d 
= _ 800 
= – 800 100, p 1 = – 700 с–1, p 2 = – 900 с–1.
На основании полученных корней запишем выражения для токов, напряжений и их производных (так как система второго порядка) в общем виде:
y (t) = y св + y вын= A 1exp(p 1 t) + A 2exp(p 2 t) + y вын;
dy (t)/ dt = p 1 A 1exp(p 1 t) + p 2 A 2exp(p 2 t) + dy вын/ dt. (1)
Для определения зависимых начальных условий и установившихся значений токов и напряжений составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа, которая будет справедлива на интервале
0+ t:
u 12(t) = R 1 i 1 + uL + R 3 i 1 + uC, uC – R 2 i 2 = 0, i 1 = i 2 + i 3. (2)
Первый интервал 0+ t T /2– : u 12(t) = 20 В.
Найдем зависимые начальные условия для момента коммутации ключа t 0+, для которого
iL (0+) = i 1(0+) = – 0,123 А, uC (0+) = – 0,671 В: i 2(0+) = – 0,0839 А, i 3(0+) = – 0,207 А, uL (0+) = 27,436 В.
Определим вынужденные значения (t =) токов и напряжений из уравнений (2), зная, что при постоянном (не изменяющемся во времени) воздействии uL () = 0, i 3() = iС () = 0. Получим:
i 1() = u 12 / (R 1 + R 2 + R 3) = 0,317 А, uC () = i 1() R 2 = 2,54 В.
Составим уравнения для определения постоянных интегрирования выражений i 1(t) и u L(t) согласно (1): i 1(0+) = A 1 + A 2 + i 1(), uL (0+) = L (di 1/ dt)(0+) = L (p 1 A 1 + p 2 A 2) + uL (); –0,123 = A 1 + A 2 +
+ 0,317; 27,436 = 0,05[(–700) A 1 + (– 900) A 2] + 0. Решая уравнения, найдем A 1 = 0,761, A 2 = – 1,202. Окончательно решение для i 1(t) и uL (t): i 1(t) = (0,761 e –700 t – 1,202 e –900 t + 0,317) А, uL (t) = (–26,635 e –700 t +
+ 54,1202 e –900 t) В.
Аналогично, используя начальные и вынужденные значения, найдем решение для uС (t) и i 3(t) = iС (t) = СduС / dt на первом интервале входного воздействия:
uС (t) = (– 15,24 e –700 t + 12,02 e –900 t + 2,54) В; i 3(t) =
=(2,665 e –700 t – 2,704 e –900 t ) А; u 2(t) = uС (t) + i 1(t) R 3 = (– 7,63 e –700 t + 5,715) В.
Второй интервал T /2+ t T – : u 12(t) = – 20 В.
Скачкообразное изменение входного напряжения в момент
t = T /2 создало новые условия для протекания переходного процесса. Методика расчета аналогична методике для первого интервала. Прежними остаются только корни, так как структура и параметры элементов схемы не изменились, а напряжение источника входного воздействия на корни не влияет.
Независимые начальные условия uC (T /2+) и iL (T /2+) = i 1(T /2+) определим из uC (t) и iL (t) первого интервала: uC (T /2+) = uC (T /2–) = (–15,24 e –700 T /2 + 12,02 e –900 T /2 + 2,54) = 1,56, i 1(T /2+) = i 1(T /2–) =
= (0,761 e –700 T /2 – 1,202 e –900 T /2 + 0,317) = 0,331, T /2 = 3,14 10–3 с.
Зависимые начальные условия и вынужденные значения токов и напряжений вычислим, воспользовавшись уравнениями (2): i 2(T /2+) = 0,195 А, i 3(T /2+) = 0,136 А, uL (T /2+) = – 39,765 В; uL () = 0 В, i 3() = 0 А, i 1() = i 2() = u 12 / (R 1 + R 2 + R 3) = – 0,317 А, uC () = R 2 i 2() = – 2,54 В.
Решение для i 1(t) и u 2(t) найдем, используя uC (t) и iC (t) и уравнения (2). С учетом смещения процессов по оси времени относительно начала отсчета получим: uC (t) = uC св + uC вын = A 1
exp[ p 1(t – T /2)] + A 2 exp[ p 2(t – T /2)] + uC вын; iC (t) = CduC (t) / dt =
= Cp 1 A 1exp[(p 1(t – T /2)] + Cp 2 A 2exp[(p 2 t – T /2)]+ iC вын.
При t = (T /2+): uC (T /2+) = A 1 + A 2 + uC вын(T /2+); iC (T /2+) = Cp 1 A 1 + Cp 2 A 2 + iC вын(T /2+). Подставляя в эту систему начальные и вынужденные значения токов и напряжений, найдем постоянные интегрирования: – 1,56 = A 1 + A 2 – 2,54; 0,136 = 0,05(– 700) A 1 + 0,05 (– 900) A 2; A 1 = 21,17; A 2 = –17,07. Следовательно,
uC (t) = {21,17exp[–700(t – T /2)] – 17,07exp[–900(t – T /2)] – 2,54} B;
iC (t) = i 3(t) = {–3,705exp[(–700(t – T /2)] + 3,841exp[(–900(t – T /2)]} A;
i 2(t) = uС (t)/ R 2 = {2,646exp[–700(t – T /2)] – 2,134exp[–900(t – T /2)] –
– 2,54} A; i 1(t) = i 2(t) + i 3(t) = {– 1,06 exp[–700(t – T /2)] + 1,71 exp[– 900(t – T /2)] – 0,317} A;
u 2(t) = u С (t) + i 1(t) R 3 = {10,58 exp[– 700(t – T /2)] – 5,715} B.
Чтобы убедиться в правильности полученных результатов, выполним проверку:
1. Определим из найденных решений значения i 1(T /2–) и i 1(T /2+). Согласно закону коммутации, i 1(t) = iL (t) не может измениться скачком, т.е. i 1(T /2–) = i 1(T /2+): i 1(T /2–) = 0,331 А, i 1(T /2+) =
= 0,3305 А — равенство соблюдается с достаточной точностью.
2. Изменение входного напряжения u 12(t) в момент t = T /2 на (–2 U 12) = – 40 B может уравновесить в данной схеме только напряжение на индуктивность, так как остальные напряжения скачком измениться не могут, следовательно, uL (T /2+) – uL (T /2–) = – 40. Проверим, используя найденные решения:
uL (T /2+) = u 12(T /2+) – u С(T /2+) – i 1(T /2+)(R 1 + R 3) = – 39,765 В, uL (T /2–) = 0,248 В, uL (T /2+) – uL (T /2–) =
= –39,765 – 0,248 = –40,013 В — результаты совпадают с достаточной точностью. При первой коммутации изменение напряжения на индуктивном элементе 
UL должно равняться 20 В (проверьте!).
