Расчет источника гармонических колебаний

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы — закрепить теоретический материал, научить студентов приемам и методам познавательной деятельности, умению обобщать и вырабатывать навыки творческого мышления и самостоятельной работы.

Для расчета цепей, построения графиков и оформления отчета целесообразно применять персональные ЭВМ (ПЭВМ). При этом можно пользоваться готовыми программами систем инженерных и научных расчетов типа MATLAB, MATHCAD, MICROCAP и другими или самостоятельно написанными, что способствует закреплению навыков работы с вычислительной техникой. Умение правильно использовать компьютер становится важным показателем работы специалиста. Отсутствие у студента доступа к ЭВМ не является причиной невыполнения курсовой работы или отдельных ее пунктов.

ОПИСАНИЕ СХЕМЫ

Предметом курсовой работы является исследование электрической цепи, структурная и функциональная схемы которой
показаны на рис. 1 и 2 соответственно. Схемы активного двухполюсника — источника гармонических колебаний (ИГК), четырехполюсника и параметры их элементов выдаются преподавателем по вариантам в виде раздаточного материала.

Схема источника гармонических колебаний состоит из источников ЭДС и тока одинаковой частоты и пассивных элементов разного характера, соединенных определенным образом (см. рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

Роль первичной обмотки линейного трансформатора (ТР) выполняет одна из индуктивностей L_n, входящих в состав источника. При этом последовательно с индуктивностью не должен быть включен источник тока, и ток в этой ветви не равен нулю, например L ₃ на рис. 2. Если в схеме нет такой индуктивности, то ее нужно создать, включив в любую ветвь без источника тока индуктивность 100 мГн и емкость 10 мкФ. Установившийся режим в схеме источника от этого не нарушится. Линейный (воздушный) трансформатор имеет две вторичные обмотки L ₈ и L ₉.

Напряжение u ₁ вторичной обмотки L ₈ ТР подается на вход повторителя, собранного на операционном усилителе (ОУ) DA1. Ориентировочные параметры такого усилителя следующие: R _вх 0,5 мОм, R _вых 100 Ом, ₀ 510⁴, f _в=20 мГц, где ₀ — коэффициент усиления по напряжению, а f _в — верхняя рабочая частота. Часто такой ОУ используется не для получения усилительного эффекта, а для предания электрическим цепям особых свойств, получить которые без него сложно или невозможно. Для работы ОУ к нему необходимо подвести постоянное питающее напряжение U = 10...15 В. Цепи питания на схемах обычно не изображают.

В большинстве практических расчетов характеристики ОУ идеализируют. При этом считают, что входная проводимость и выходное сопротивление равны нулю, а коэффициент усиления имеет бесконечно большое значение. Выходное напряжение повторителя u ₃ = u ₁, мощность входного сигнала равна нулю, а мощность выходного может принимать любое значение в зависимости от нагрузки — это не противоречит закону сохранения энергии, так как она обеспечивается источником питающего напряжения ОУ.

Напряжение u ₂ со вторичной обмотки L ₉ ТР подается на инвертирующий вход компаратора — порогового элемента, преобразующего гармоническое (синусоидальное) колебание в разнополярные импульсы прямоугольной формы: U ₄ = 10 В при u ₂ 0, U ₄ = –10 В при u ₂ > 0. Компаратор собран на ОУ DA2 с разомкнутой отрицательной обратной связью (ООС). В цепи без ООС коэффициент усиления ОУ оказывается чрезвычайно большим и синусоидальный сигнал преобразуется в прямоугольный. Следует обратить внимание, что напряжения u ₁ и u ₂ находятся в противофазе, а напряжению u ₃ 0 соответствует U ₄ = 10 В.

Токи во вторичных обмотках трансформатора ТР для идеальных ОУ (R _вх ) равны нулю, поэтому нагрузка трансформатора никакого влияния на активный двухполюсник не оказывает.

Переключатель Кл позволяет подключить заданную схему четырехполюсника либо к выходу повторителя, либо к выходу компаратора. Переключение из одного положения в другое происходит мгновенно. В исходном (начальном) состоянии переключатель Кл находится в положении 1 (см. рис. 2). Изменение положения переключателя вызывает в схеме четырехполюсника изменение режима работы и возникновение переходного процесса.

ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА

В учебном пособии не ставится задача проведения расчета какого-либо варианта курсовой работы. Рассматриваются отдельные фрагменты выполнения работы на примерах, позволяющих составить общее представление о характере и объеме необходимых расчетов.

Расчет источника гармонических колебаний

Пример 1. Рассчитать источник гармонических колебаний (см. п. 1.1) по схеме рис. 2, если заданы следующие исходные данные: i_{J 1} = sin(10³ t + 270) A, e ₂ = 600 sin(10³ t + 225) B, E ₃ = 500 + j 500 B, R ₁ = 0 Ом, C ₂ = 20/3 мкФ, R ₃ = 150 Ом, L ₃ = 100 мГн, R ₄ = 100 Ом, C ₅ = 10 мкФ, L ₆ = 100 мГн, R ₇ = 20 Ом.

Решение. Предварительная подготовка схемы к расчету заключается в выборе положительных направлений токов в ветвях и их обозначении. Кроме того, необходимо обозначить все узлы схемы буквенными или цифровыми индексами. Для перехода к комплексной схеме замещения (рис. 3) все независимые источники нужно представить в комплексной форме (в виде комплексных амплитуд или комплексных действующих значений) и рассчитать комплексные сопротивления всех ветвей схемы. Так, комплексные действующие значения источников будут равны:
i_{J 1} J ₁ = 4exp(j 270) = – j 4, e ₂ E ₂ = exp (j 225) = –300
– j 300, а комплексные сопротивления при w = 10³ c^–1: Z ₁ = R ₁ = 30, Z ₂ = – jX_{C 2} = – j /(w C ₂) = – j 150, Z ₃ = R ₃ + jX_{L 3} = R ₃ + j w L ₃ = 150 + j 100, Z ₄ = R ₄ = 100, Z ₅ = – jX_{C 5} = – j /(C ₅) = – j 100, Z ₆ = jX_{L 6} = j w L ₆ = j 100, Z ₇ = R ₇ = 20, где — символ соответствия между оригиналом и изображением функции.

 

Рис.3

 

Рис.4

 

Пример 1. Рассчитать ток I ₃ в первичной обмотке трансформатора (см. рис. 2) методом эквивалентного источника.

Данный метод расчета основан на теореме об эквивалентном источнике (источнике напряжения или тока) [1–4]. В соответствии с этой теоремой ток в любой ветви m – n сколь угодно сложной электрической цепи (рис. 6, а) не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником энергии, который может быть представлен последовательной (источником напряжения — рис.

6, б) или параллельной (источником тока — рис. 6, в) схемой замещения.

ЭДС идеального источника напряжения в последовательной схеме замещения должна быть равна напряжению на разомкнутых зажимах m–n схемы; ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен току, протекающему между зажимами m – n, замкнутыми накоротко; внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость эквивалентного источника должны быть равны соответственно входному сопротивлению и входной проводимости пассивной электрической цепи (источники замещены их внутренним сопротивлением) со стороны разомкнутых зажимов m–n. Эта теорема лежит в основе метода эквивалентного источника.

Решение. Расчет неизвестного тока I ₃ для исходной схемы (см. рис. 3) выполним методом, например, эквивалентного источника напряжения. Найдем параметры E _ЭГ и Z _вн, учитывая, что обмотка трансформатора с индуктивностью L ₃ =100 мГн включена между точками а–е.

А. Схема для определения E _ЭГ показана на рис. 5. Направление напряжения U _{ae xx}совпадает с направлением неизвестного тока I ₃. Из уравнения, составленного по методу контурных токов,

I ₁₁(Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) – I ₂₂ Z ₆ = 0 при условии, что I ₂₂ = J ₁ = – j 4, определяем токи

I ₁₁ = 4, I ₄ = I ₁₁ = 4, I ₂ = I ₂₂ = – j 4. Теперь из уравнения U _{ae xx} + I ₄ Z ₄ + I ₂ Z ₂ = E ₂ + E ₃, составленного согласно второму закону Кирхгофа для правого контура, находим E _ЭГ = U _{ae xx}= 400 + j 400.

Рис. 5 Рис. 6

Б. Схема для определения внутреннего сопротивления генератора Z _вн = Z _{ае вх} показана на рис. 6 - здесь источники замещены их внутренним сопротивлением:

Z _вн = R ₃ + R ₂ + Z ₄ (Z ₅ + Z ₆) / (Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) = 150 – j 150.

На основании метода эквивалентного источника напряжения определяем:

I ₃ = E _ЭГ/(Z _вн + Z _{L 3}) = (400 + j 200)/(150 – j 150 + j 100) = 2 + j 2.

 

Запишем мгновенные значения тока i ₃ и напряжения u_{L 3}(t) на индуктивности L ₃, представляющей собой первичную обмотку трансформатора. Комплексной амплитуде тока I _{3 m} = (2+ j 2)==4exp(j 45) соответствует мгновенное значение тока i (t)= 4 sin(10³ t + 45). Комплексному действующему значению напряжения U _{L 3}= I ₃ jX_{L 3}=(2+ j 2)(j 100)= –200+ j 200=200 exp(j 45) соответствует мгновенное значение напряжения u_{L 3}(t) = 400s i n(10³t + 135). Кривые мгновенных значений токов i (t) или i (w t), напряжений u (t) или u (w t), построенные в декартовой системе координат (рис. 7), называются волновыми или временными диаграммами.

Рис. 7

Определим значения взаимных индуктивностей М ₃₈ и М ₃₉, необходимых для получения на вторичных обмотках линейного трансформатора заданных значений U ₁ и U ₂ (см. рис. 2). Пусть требуется получить напряжения

U ₁ = 5 B, U ₂ = 10 B. Так как U ₁ == X_{m 38} I ₃ = M ₃₈ I ₃, а I ₃ = 2 , то M ₃₈ = U ₁ /(I ₃) = 5/(10³ 2 ) = 1,25 = 1,77 мГн. При рассчитанном значении взаимной индуктивности комплексное значение напряжения на входных зажимах повторителя напряжения U ₁ = jM ₃₈ I ₃ = j 10³ 1,25 10^–3 (2 + j 2) = 5exp (j 135). (Для проверки правильности записи равенства для U ₁ необходимо задаться направлением тока I ₈ в L ₈, записать уравнение для U ₁ с учетом магнитных связей, а затем принять I ₈ = 0, так как ОУ считается идеальным.) Мгновенное значение напряжения u ₁ = 5 sin (10³ t + j 135). Заданный коэффициент связи позволяет определить значение индуктивности L ₈ вторичной обмотки трансформатора. Так как k ₃₈ = M ₃₈ / , то, например, при k ₃₈ = 0,5 L ₈ = M ²₃₈ / / (k ²₃₈ L ₃) = (1,25 10^–3)² / (0,5²10010^–3) = 0,125 мГн. Аналогично: M ₃₉ = U ₂ / (I ₃) = 10 / (10³2 ) = 2,5 = 2,54 мГн, при k ₃₉ = 0,5 L ₉ = M ²₃₉ / (k ²₃₉ L ₃) = (2,5 10^–3)² / (0,5²10010^–3) = 0,5 мГн, U ₂ = – jM ₃₉ I ₃ = – j 10³ 2,5 10^–3(2 + j 2) =

=10 exp(– j 45) u ₂ = 10 sin (10³ t – j 45). Напряжение u ₂ на индуктивности L ₉ находится в противофазе с напряжением u ₁ на L ₈ (см. схему включения обмоток ТР на рис. 2).

Расчет четырехполюсника

Пример 2. Для схемы рис. 8 рассчитать токи и напряжения методом входного сопротивления, построить их векторные диаграммы. В схеме заданы: u _вх = 40 sin(10³ t +/2) B, R ₁ = X_{C 1} =
= X_{C 2} = R ₃ = X_{L 3} = 10 Ом.

Решение. Обозначим точки соединения элементов схемы и токи. Выберем условно положительные направления токов в соответствии с рис. 9. Ток в неразветвленной части схемы I ₁ = U _вх / Z _вх, где Z _вх — комплексное входное сопротивление схемы, Z _вх = R ₁ – jX_{C 1} + [– j X_{C 2}(R ₃ + j X_{L 3})] / [ R ₃ + j (X_{L 3} – X_{C 2})] = 10 – j 10 + [– j 10(10 + j 10)] / [10 + j (10 –10)] = (20 – j 20) Ом.

Комплексное действующее значение входного напряжения U _вх = j 40 B. Общий ток I ₁ = j 40/(20 – j 20) = –1 + j = exp135. Токи в параллельных ветвях выразим через ток I ₁: I ₂ = I ₁ Z ₃ / (Z ₂ + Z ₃) =

=(–1 + j)(10 + j 10) / (– j 10 + 10 + j 10) = – 2 = 2exp( j), I ₃ = I ₁ Z ₂ / (Z ₂ + Z ₃) = (–1 + j)(– j 10) / 10 = 1 + j = = exp(j /4).

Построим векторную диаграмму — совокупность векторов токов или напряжений на комплексной плоскости с учетом их взаимной ориентации по фазе. Ток в неразветвленной части схемы равен геометрической сумме токов I ₁ = I ₂ + I ₃. Векторная диаграмма токов с учетом выбранного масштаба m_I = 0,5 A/см представлена на рис.9, а.

Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитаем напряжения на отдельных элементах (участках) схемы (см. рис. 8). Направления напряжений принимаем совпадающими с направлением токов в соответствующих элементах. Рассчитаем падение напряжения на элементах схемы: U_{R 1} = U_ed =

= R ₁ I ₁= 10 и совпадает по фазе с током I ₁; U_{C 1} = U_dc = X_{C 1} I ₁ = 10 , но отстает по фазе от тока I ₁ на угол p/2; U_{R 3} = U_cb = R ₃ I ₃ = 10 и совпадает по фазе с током I ₃; U_{L 3} = 14,1 и опережает по фазе ток I ₃ на угол /2; напряжение U_ca = X_{C 2} I ₂ = 20 и отстает по фазе от тока I ₂ на угол /2.

Рис. 8 Рис. 9

Геометрическая сумма U _{R 1} + U _{C 1} + U _{R 3} + U _{L 3} = U _вх = U _ea, а сумма U _{R 3} + U _{L 3} равна по модулю падению напряжения на емкости С ₂ — U_ca. Кроме того, эта векторная сумма равна выходному напряжению четырехполюсника.

Векторная диаграмма напряжений показана на рис.9, б (m_U = 8 B/см). Мгновенные значения тока i ₁ и выходного напряжения u _вых: I ₁ = exp(j 3 /4) i ₁ = 2 sin(10³ t + 3/4), U _вых = j 20 u _вых =
= 20 sin(10³ t + p/2).!4283?> D075 <564C 2KE>4=K< 8 2E>дным напряжениями

j = y_2KE – y_2E = p/2 _ p/2 = 0, 0 >B=>H5=85 459Aтвующих значений U _вых / U _вх = 20/40 = 0,5.