| Код работы | 1-А | 1-Е | А-Н | Н-В | Н-М | Е-А | Е-М | В-К | М-К | К-С |
| продолжительность |
| A |
| E |
| Н |
| М |
| В |
| К |
| С |
Р(1)= 
=0-0=0
Р(А)= 
=2-2=0
Р(Е)= 
=2-1=1
Р(Н)= 
=3-3=0
Р(М)= 
=8-5=3
Р(В)= 
=8-8=0
Р(К)= 
=10-10=0
Р(С)= 
=13-13=0
| A |
| E |
| Н |
| М |
| В |
| К |
| С |
Игровые модели
Основные понятия теории игр
Теория игр служит для моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов.
Игрой называется идеализированная математическая модель конфликтной ситуации. Стороны, участвующие в конфликте называются игроками, а исход конфликта – выигрышем. Регулярное действие, выполняемое игроком, называется ходом. Совокупность ходов игрока, совершаемых им для достижения цели игры, называется стратегией. Все возможные действия игроков подчиняются определённым правилам.
Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Наиболее изучены игры с двумя игроками. Такие игры называются парными.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий, игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на коалиционные и бескоалиционные.
Бескоалиционные – игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции. В кооперативных играх коалиции заранее определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
Классификация игр
Классификацию игр можно проводить: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д.
В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трёх и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения. Чем больше игроков - тем больше проблем.
По количеству стратегий игры делятся на конечные и бесконечные. Если в игре все игроки имеют конечное число возможных стратегий, то она называется конечной. Если же хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий игра называется бесконечной.
По характеру взаимодействия игры делятся на:
1) бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции;
2) коалиционные (кооперативные) – могут вступать в коалиции.
В кооперативных играх коалиции наперёд определены.
По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.
По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые, сепарабельные, типа дуэлей и др.
Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).
Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)
Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.
Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной в зависимости от стратегий. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.
Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой. Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определённого числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.
Критерий Лапласа
Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного основания, который гласит, что, поскольку распределение вероятностей состояний P(si) неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний природы равны между собой, т.е. P{s1} = P{s2} =... = P{sn} = 1/n. Если при этом v(аi, sj) представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает
(32)
Если величина v(аi, sj) представляет расходы лица, принимающего решение, то оператор "max" заменяется на "min".
Критерий Сэвиджа
Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного (максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) v(аi, sj) матрицей потерь r(аi, sj), которая определяется следующим образом.
(33)
Чтобы показать, как критерий Сэвиджа "смягчает" минимаксный (максиминный) критерий, рассмотрим следующую матрицу платежей v(аi, sj):
Критерий Гурвица
Рассмотрим теперь критерий Гурвица. Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений — от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Пусть 0 <= а <= 1 и величины
v(аi, sj) представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует
(34)
Параметр а - показатель оптимизма.
Если a = 0, критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия.
Если а = 1, критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшие из наилучших условий.
Можно конкретизировать степень оптимизма (или пессимизма) надлежащим выбором величины a интервала [0,1]. При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор а = 0,5 представляется наиболее разумным.
Если величины v(аi, sj) представляют потери, то критерий принимает следующий вид:
(35)
