Определение экстремумов функции

Экстремум - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x) f(x₀)

Необходимые условия экстремума:

1) Пусть функция у=f(x) имеет в точке х₀ экстремум и в этой точке существует производная, тогда она равна 0

2) Если на каком-то участке АВ производная всюду положительная, то на этом участке функция возрастает (монотонно возрастающая) и если функция монотонно возрастающая и производная во всех точках существует, то она неотрицательна

Точки не обязательно являются точками экстремума, если производная равна 0.

Все стационарные точки (где производная равна 0) и точки, где производная не существует являются точками, подозрительными на точки экстремума.

Достаточное условие экстремума: если при переходе через точку, подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то эта точка является экстремумом.

Определение функции выпуклой вверх (вниз) на некотором интервале. Определение точки перегиба функции.

Функция выпукла вниз(вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда её первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает)

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что если f`(x) возрастает (убывает) на промежутке Х, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к графику. Это и означает выпуклость функции вниз (вверх).

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна 0

Достаточное условие перегиба. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба её графика.

Если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

33. Определение предела функции в точке. Односторонние пределы.

Число А называется пределом, если для любого интервальчика с центром в точке А найдётся интервальчик с центром в точке х₀, что для всех х принадлежащих этому интервальчику, значение функции принадлежит интервалу с центром в точке А.

Односторонний предел - предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторонним пределом (или пределом слева) и правосторонним пределом (пределом справа).