Матрицы и действия над ними
Матрицы – прямоугольная таблица чисел, заключённая в квадратные скобки.
Умножение матрицы на число -
Сложение матриц
! Складывать можно только матрицы одинаковых размеров – С=А+В
Умножение матриц
! Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда число столбцов в матрице А равно числу строк в матрице В. В результате умножения получаем матрицу С=А*В, в которой число строк столько, сколько в матрице А и число столбцов столько, сколько в матрице В.
Транспортирование матриц
В матрице А поменять местами строчки со столбцами.
Обратная матрица
Обратная матрица – такая матрица А, при умножении на которую, исходная матрица даёт в результате единичную матрицу (Е) Единичная матрица – квадратная матрица, элементы главной диагонали которой равны единице поля, а остальные равны нулю.
А*А =Е
! Понятие обратной матрицы вводится только для квадратной матрицы.
Определители второго порядка
! Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали
Дополнительный минор и алгебраические дополнения
Алгебраическим дополнением элемента матрицы А называется число, где - дополнительный минор – определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы А путём вычёркивания i-й строки и j-го столбца.
Определители и их свойства
Определителем квадратной матрицы А называется число, которое обозначается А=
и равное сумме произведений элементов некоторой строки (некоторого столбца),
умноженного на их алгебраические дополнения.
Свойства определителя:
1) Если все элементы строки (столбца) равны 0, то и сам определитель равен 0
2) ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ! При умножении любой строки (любого столбца) на некоторое число, значение определителя также умножается на это число.
3) При перестановке любых 2х строк (столбцов), определитель меняет знак (умножается на -1)
4) От прибавления к строке (столбцу) определителя любой другой строки (столбца), умноженной на число, значение определителя не меняется.
Теорема о нахождении и существовании обратной матрицы
! Если определитель квадратной матрицы равен 0, то для такой матрицы не существует обратной. Если же определитель квадратной матрицы не равен 0, то для такой матрицы существует единственная обратная матрица А
Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы исходная матрица была невырожденной (А не равно 0)
Способ вычисления обратной матрицы: ее элементами являются алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы А, деленные на ее определитель.
Система линейных уравнений. Однородная и неоднородная системы. Матричная запись.
Система m -линейных уравнений с n -неизвестными – это система уравнений вида
Решить систему – значит найти все возможные решения системы или убедиться в том, что решений не существует.
1) Система имеет единственное решение – ОПРЕДЕЛЁННАЯ
2) Система имеет бесчисленное множество решений – НЕОПРЕДЕЛЁННАЯ
3) Система решений не имеет - НЕСОВМЕСТНАЯ
Если все свободные члены системы линейных уравнений равны 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной.
Если в системе (2) все свободные члены заменить нулями, то мы получим однородную систему,
которую будем называть однородной системой, соответствующей системе (2).
Отметим, что любая однородная система имеет решение x =0, x =0, x =0, которое называется нулевым решением.
Матричный способ решения систем линейных уравнений
AX=B
A *AX=A B
EX=A B
X=A В
Находим определитель. Находим обратную матрицу. Умножаем обратную матрицу на столбец свободных членов.
Теорема Крамера
Пусть дана система n -линейных уравнений с n -неизвестными. Если определитель матрицы коэффициентов отличен от 0, то система имеет единственное решение. Это решение задаётся формулами:
- определитель матрицы, полученной из матрицы А заменой первого столбца столбцом свободных членов.
Если же определитель равен 0, то система или неопределенна, или несовместна.
Понятие ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров при нахождении ранга матрицы.
Ранг матрицы – наивысший порядок миноров, отличных от нуля.
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице А найден минор порядка k, который отличен от нуля, точка r(A) k. Тогда переходим к вычислению миноров порядка k+1. Оказывается при этом достаточно перебирать только такие миноры k+1 порядка, которые в своём составе содержат минор k-того порядка, который отличен от нуля.
Минором порядка k данной матрицы называется число, равное определителю матрицы, составленной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении каких-то k-строк и k-столбцов.
Теорема Кронекера Капелли
Пусть дана система m -уравнений с n -неизвестными. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов, равен рангу расширенной матрицы. Причём, система имеет единственное решение (система определена), если ранг равен числу неизвестных и бесконечное множество решений (система неопределенна), если ранг меньше числа неизвестных.
